Python теорема косинусов

В этом уроке мы собираемся обсудить тригонометрическую функцию косинуса(cos) в Python. Мы поговорим о модулях, которые мы можем использовать для реализации функции cos в нашей программе Python. Мы также узнаем о построении графиков с помощью функции cos в программе. Итак, давайте начнем с рассмотрения модулей, которые мы можем импортировать в программу для использования функции cos.

В Python у нас есть математический модуль, который мы можем использовать для импорта и реализации функции cos, а также других важных математических операций в программе.

Помимо математического модуля, мы также можем использовать модуль numpy Python для реализации функции cos в программе. Мы изучим использование обоих модулей, т. е. модуля math и модуля numpy.

Метод 1: функция cos() в модуле math

Математический модуль Python содержит ряд важных математических значений и операций, и функция cos() является одной из них. Мы можем использовать функцию cos()  модуля math для реализации тригонометрического значения cos в программе.

Функция math.cos() возвращает значение тригонометрического косинуса для аргумента, который мы указываем внутри функции, т. е. значение степени в косинусе. Значение, которое мы даем в качестве аргумента функции, должно быть в радианах.

Ниже приведен синтаксис использования функции math.cos() в программе Python:

 
math.cos(a) 

Параметры: Здесь параметр a = значение в радианах.

Возвращаемое значение: функция math.cos() возвращает значение косинуса для аргумента ‘a’ в радианах, которое мы указали внутри функции.

Давайте разберемся с использованием функции cos() модуля math в Python с помощью следующего примера программы:

 
# Import math module 
import math 
# Define an input radian value 
x = math.pi / 12 
# Printing cosine value for respective input value 
print("The cosine value of pi / 12 value as given is : ", end ="")   
 
print(math.cos(x)) 

Выход:

The cosine value of pi / 12 value as given is: 0.9659258262890683 

Метод 2: функция cos() в модуле Numpy

Помимо математического модуля, мы также можем использовать модуль numpy для реализации значения тригонометрического косинуса в программе. Для этого нам предоставляется функция cos() внутри модуля numpy, которая дает нам математическое значение косинуса на выходе.

Как и функция math.cos(), при использовании функции cos() модуля numpy мы должны указать значение аргумента в радианах внутри функции.

Ниже приведен синтаксис использования функции numpy.cos() в программе Python:

 
numpy.cos(a) 

Параметры: мы можем указать ‘a’ в качестве следующих типов параметров внутри функции numpy.cos():

• В функции можно указать аргумент с одним значением в радианах.
• Мы также можем предоставить массив, содержащий несколько значений в радианах, в качестве аргумента функции.

Тип возвращаемого значения: функция numpy.cos() возвращает значения косинуса заданного числа.

Давайте разберемся с использованием функции cos() модуля numpy в Python с помощью следующего примера программы:

 
# importing numpy module as jtp in program 
import numpy as jtp 
# defining multiple input values in a single array 
ValArray = [0, jtp.pi / 4, jtp.pi / 7, jtp.pi/9, jtp.pi/12, jtp.pi/5] 
# printing input array in output 
print("Values given in the input array: n", ValArray) 
# using cos() function to get cosine values 
CosArray = jtp.cos(ValArray) 
# printing cos values in output 
print("nRespective Cosine values for input array values: n", CosArray) 

Выход:

Values given in the input array:  
 [0, 0.7853981633974483, 0.4487989505128276, 0.3490658503988659, 0.2617993877991494, 0.6283185307179586] 
 
Respective Cosine values for input array values:  
 [1.         0.70710678 0.90096887 0.93969262 0.96592583 0.80901699] 

Построение графика значений косинуса

До сих пор мы изучали использование функции cos() для модулей numpy и math внутри программы Python. Теперь мы будем использовать модули numpy и math, а также функцию cos() для построения графика значений косинуса. Мы можем сделать это графическое представление двумя способами:

• Прямой импорт и реализация функции cos() и модуля numpy & math.
• Итерация по функции cos() с модулем numpy и math.

Давайте разберемся в реализации обоих методов, используя их в программе Python и построив графики с ними на выходе.

Пример 1: Прямой импорт и реализация функции cos() и модуля numpy & math.

 
# importing numpy module as jtp 
import numpy as jtp 
# importing matplotlib module as mlt 
import matplotlib.pyplot as mlt 
 
# Defining an array containing radian values 
RadValArray = jtp.linspace(-(2*jtp.pi), 2*jtp.pi, 20) 
# cosine values for respective array value 
CosValArray = jtp.cos(RadValArray) 
 
# printing values in output 
print("Radian values in the array: ", RadValArray) 
print("nRespective cos values of array: ", CosValArray) 
 
# using plot() function with variables 
mlt.plot(RadValArray, CosValArray, color = 'blue', marker = "*") 
mlt.title("Graphical representation of cos function") 
mlt.xlabel("X-axis") 
mlt.ylabel("Y-axis") 
 
# plotting graph in output 
mlt.show() 

Выход:

Radian values in the array:  [-6.28318531 -5.62179738 -4.96040945 -4.29902153 -3.6376336  -2.97624567 
 -2.31485774 -1.65346982 -0.99208189 -0.33069396  0.33069396  0.99208189 
  1.65346982  2.31485774  2.97624567  3.6376336   4.29902153  4.96040945 
  5.62179738  6.28318531] 
 
Respective cos values of array:  [ 1.          0.78914051  0.24548549 -0.40169542 -0.87947375 -0.9863613 
 -0.67728157 -0.08257935  0.54694816  0.94581724  0.94581724  0.54694816 
 -0.08257935 -0.67728157 -0.9863613  -0.87947375 -0.40169542  0.24548549 
  0.78914051  1.        ] 

Пример 2: Итерация по функции cos() с модулем numpy и math.

 
# importing math module 
import math 
# importing numpy module as jtp 
import numpy as jtp 
# importing matplotlib module as mlt 
import matplotlib.pyplot as mlt 
 
# Defining an array containing radian values 
RadValArray = jtp.linspace(-(2*jtp.pi), 2*jtp.pi, 20) 
# Empty array for cosine values 
CosValArray = [] 
 
#Iterating over the cos values array 
for j in range(len(RadValArray)):  
    CosValArray.append(math.cos(RadValArray[j]))  
    j += 1 
 
# printing respective values in output 
print("Radian values in the array: ", RadValArray) 
print("nRespective cos values of array: ", CosValArray) 
 
# using plot() function with variables 
mlt.plot(RadValArray, CosValArray, color = 'orange', marker = "+") 
mlt.title("Graphical representation of cos function") 
mlt.xlabel("X-axis") 
mlt.ylabel("Y-axis") 
 
# plotting graph in output 
mlt.show() 

Выход:

Radian values in the array:  [-6.28318531 -5.62179738 -4.96040945 -4.29902153 -3.6376336  -2.97624567 
 -2.31485774 -1.65346982 -0.99208189 -0.33069396  0.33069396  0.99208189 
  1.65346982  2.31485774  2.97624567  3.6376336   4.29902153  4.96040945 
  5.62179738  6.28318531] 
 
Respective cos values of array:  [1.0, 0.7891405093963934, 0.2454854871407988, -0.40169542465296987, -0.8794737512064891, -0.9863613034027223, -0.6772815716257412, -0.08257934547233249, 0.5469481581224268, 0.9458172417006346, 0.9458172417006346, 0.5469481581224268, -0.0825793454723316, -0.6772815716257405, -0.9863613034027223, -0.8794737512064893, -0.40169542465296987, 0.2454854871407988, 0.7891405093963934, 1.0] 

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.
Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.
Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).
Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

§ 3. Тригонометрические формулы

Основное тригонометрическое тождество — sin2 a + cos2
a = 1

Выражение тангенса и котангенса через синус и косинус:

tg a = sin a / cos a

ctg a = cos a / sin a

§ 4. Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла

Нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса тупых углов

sin(180° — a) = sin a

cos(180° — a) = -cos a

tg(180° — a) = -tg a

ctg(180° — a) = -ctg a

§ 5. Формулы площади треугольника и площади параллелограмма

Теорема. Площадь треугольника равна половне произведения двух его сторон на синус угла между ними.

S = 1/2 * absiny

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между
ними.

S = absina

§ 6. Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике

Теорема. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее
пропорциональное (среднее геометрическое) между проекциями катетов на гипотенузу, т.е.

CK = √AK * KB

Теорема. Катет есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) между гипотенузой и проекцией
этого катета на гипотенузу, т. е

AC = √AB * AK

BC = √AB * KB

§ 8. Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его
вершины.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится
в точке пересечения середенных перпендикуляров в сторонам треугольника.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле S=pr, где p — полупериметр треугольника, r —
радиус окружности, вписанной в этот треугольник. r=S/p

§ 9. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине
гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. R = c/2, где с — гипотенуза.

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле r = (a +
b — c) / 2, где r — искомый радиус, a и b — катеты, с — гипотенуза треугольника.

r = p — c, S = p * r, R = c/2. Где p — полупериметр

§ 10. Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его
вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность. Центр описанной окружности
многоугольника
находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.
При этом многоугольник называется описанным около окружности. Центр вписанной окружности многоугольника
находится в точке пересечения биссектрис его углов.

Теорема. Сумма противоволожных углов четрырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Теорема. Если сумма противоволожных углов четрырехугольника равна 180°, то около него можно описать
окружность.

Теорема. Суммы противоволожных сторон описанного четрырехугольника равны между собой. А значит,
периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных
сторон.

Теорема. Если суммы противоволожных сторон выпуклого четрырехугольника равны, то в него можно
вписать окружность.

Следствия:

Для описанного многоугольника справедлива формула S=pr, где S — его площадь, p — полупериметр, r —
радиус
вписанной окружности.

§ 12. Теорема синусов

Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение
стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описанной около
треугольника, т. е.

a /sin a = b /sin b = c /sin y = 2R

§ 13. Теорема косинусов

Теорема косинусов Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон
минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е.

a2 = b2 + c2 — 2bc cos a

Следствия:
С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный,
прямоугольный
или тупоугольный.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей
стороны,
поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.

§ 14. Формула Герона. Решение треугольников

Теорема. Площадь треугольника со сторонами a, b и c можно найти по формуле, где p = (a + b + c)/2
полупериметр треугольника.

S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

Алгебра:

Определение. Дробь, числитель и знаменатель которой —
многочлены, называется рациональной дробью.

Содержание

• 1. Особенности применения тригонометрических функций. Преобразование радиан в градусы и наоборот
• 2. Средства языка Python для конвертирования из градусов в радианы и наоборот. Функции math.degrees(x) и math.radians(x)
• 3. Ограничения на использование тригонометрических функций
• 4. Функция math.acos(x). Арккосинус угла
• 5. Функция math.asin(x). Арксинус
• 6. Функция math.atan(x). Арктангенс
• 7. Функция math.atan2(x, y). Арктангенс от x/y
• 8. Функция math.cos(x). Косинус угла
• 9. Функция math.sin(x)
• 10. Функция math.hypot(x, y). Евклидовая норма (Euclidean norm)
• 11. Функция math.tan(x). Тангенс угла x
• Связанные темы

Поиск на других ресурсах:

1. Особенности применения тригонометрических функций. Преобразование радиан в градусы и наоборот

Чтобы использовать тригонометрические функции в программе, нужно подключить модуль math

import math

Все тригонометрические функции оперируют радианами. Зависимость между радианами и градусами определяется по формуле:

1 радиан = 180°/π = 57.2958°

Если известен угол в градусах, то для корректной работы тригонометрических функций, этот угол нужно преобразовать в радианы.

Например. Задан угол, имеющий n градусов. Найти арккосинус этого угла. В этом случае формула вычисления результата будет следующей:

...
n_rad = n*3.1415/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус
...

Чтобы получить более точное значение результата, в программе можно использовать константу math.pi, которая определяет число π. В этом случае текст программы будет иметь следующий вид

n_rad = n*math.pi/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус

  ⇑

2. Средства языка Python для конвертирования из градусов в радианы и наоборот. Функции math.degrees(x) и math.radians(x)

В языке Python существуют функции преобразования из градусов в радианы и, наоборот, из радиан в градусы.

Функция math.degrees(x) конвертирует значение параметра x из радиан в градусы.
Функция math.radians(x) конвертирует значение параметра x из градусов в радианы.

Пример.

# Функция math.degrees(x)
import math

x = 1 # x - угол в радианах
y = math.degrees(x) # y = 57.29577951308232 - угол в градусах

x = math.pi # x = 3.1415...
y = math.degrees(x) # y = 180.0

# Функция math.radians(x)
x = 180.0/math.pi
y = math.radians(x) # y = 1.0

x = 45 # x - угол в градусах
y = math.radians(x) # y = 0.7853981633974483

  ⇑

3. Ограничения на использование тригонометрических функций

При использовании тригонометрических функций следует учитывать соответствующие ограничения, которые следуют из самой сущности этих функций. Например, не существует арксинуса из числа, которое больше 1.
Если при вызове функции задать неправильный аргумент, то интерпретатор выдаст соответствующее сообщение об ошибке

ValueError: math domain error

  ⇑

4. Функция math.acos(x). Арккосинус угла

Функция acos(x) возвращает арккосинус угла x. Аргумент x задается в радианах и может быть как целым числом, так и вещественным числом.

Пример.

# Функция math.acos(x)
import math

n = float(input('n = ')) # ввести n

n_rad = n*math.pi/180 # получить угол в радианах
ac = math.acos(n_rad) # вычислить арккосинус

print('n_rad = ', n_rad)
print('ac = ', ac)

Результат работы программы

n = 35
n_rad = 0.6108652381980153
ac = 0.913643357298706

  ⇑

5. Функция math.asin(x). Арксинус

Функция math.asin(x) вычисляет арксинус угла от аргумента x. Значение аргумента x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.asin(x)
import math

n = 10 # n - угол в градусах

# конвертировать из градусов в радианы
n_rad = n*math.pi/180 # n_rad = 0.17453292519943295

# вычислить арксинус
asn = math.asin(n_rad) # asn = 0.17543139267904395

  ⇑

6. Функция math.atan(x). Арктангенс

Функция math.atan(x) возвращает арктангенс аргумента x, значение которого задается в радианах. При использовании функции важно помнить допустимые значения x, которые можно задавать при вычислении арктангенса.

Пример.

# Функция math.atan(x)
import math

n = 60 # n - угол в градусах

# конвертировать из градусов в радианы
n_rad = n*math.pi/180 # n_rad = 1.0471975511965976

# вычислить арктангенс
atn = math.atan(n_rad) # atn = 0.808448792630022

  ⇑

7. Функция math.atan2(x, y). Арктангенс от x/y

Функция math.atan2(x, y) вычисляет арктангенс угла от деления x на y. Функция возвращает результат от —π до π. Аргументы x, y определяют координаты точки, через которую проходит отрезок от начала координат. В отличие от функции atan(x), данная функция правильно вычисляет квадрант, влияющий на знак результата.

Пример.

# Функция math.atan2(x,y)
import math

x = -2
y = -1

res = math.atan2(x, y) # res = -2.0344439357957027

  ⇑

8. Функция math.cos(x). Косинус угла

Функция math.cos(x) вычисляет косинус угла для аргумента x. Значение аргумента x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.cos(x)
import math

x = 0
y = math.cos(x) # y = 1.0

x = math.pi
y = math.cos(x) # y = -1.0

x = 2 # 2 радианы
y = math.cos(x) # y = -0.4161468365471424

  ⇑

9. Функция math.sin(x)

Функция math.sin(x) возвращает синус угла от аргумента x, заданного в радианах.

Пример.

# Функция math.sin(x)
import math

x = math.pi
y = math.sin(x) # y = 1.2246467991473532e-16

x = 0
y = math.sin(x) # y = 0.0

x = 2 # 2 радиана
y = math.sin(x)

  ⇑

10. Функция math.hypot(x, y). Евклидовая норма (Euclidean norm)

Функция возвращает Евклидовую норму, которая равна длине вектора от начала координат до точки x, y и определяется по формуле

Пример.

# Функция math.hypot(x, y)
import math

x = 1.0
y = 1.0
z = math.hypot(x, y) # z = 1.4142135623730951

x = 3.0
y = 4.0
z = math.hypot(x, y) # z = 5.0

  ⇑

11. Функция math.tan(x). Тангенс угла x

Функция math.tan(x) возвращает тангенс от аргумента x. Аргумент x задается в радианах.

Пример.

# Функция math.tan(x, y)
import math

x = 1.0
y = math.tan(x) # y = 1.5574077246549023

x = 0.0
y = math.tan(x) # y = 0.0

  ⇑

Связанные темы

• Теоретико-числовые функции и функции представления
• Степенные и логарифмические функции
• Гиперболические функции
• Специальные функции и константы

  ⇑

1 ответ:

Читайте также

В этом разделе представлены тригонометрические функции модуля math.

Содержание:

• Функция math.sin();
• Функция math.cos();
• Функция math.tan();
• Функция math.asin();
• Функция math.acos();
• Функция math.atan();
• Функция math.atan2();
• Функция math.hypot().

math.sin(x):

Функция math.sin() возвращает синус угла x значение которого задано в радианах.

>>> from math import *
>>> sin(pi/2)
# 1.0
>>> sin(pi/4)
# 0.7071067811865475)

math.cos(x):

Функция math.cos() возвращает косинус угла x значение которого задано в радианах.

>>> from math import *
>>> cos(pi/3)
# 0.5000000000000001
>>> cos(pi)
# -1.0

math.tan(x):

Функция math.tan() возвращает тангенс угла x значение которого задано в радианах.

>>>from math import *
>>> tan(pi/3)
# 1.7320508075688767
>>> tan(pi/4)
# 0.9999999999999999

При определенных значениях углов тангенс должен быть равен либо −∞ либо +∞, скажем tan(3π/2)=+∞, a tan(−π/2)=−∞, но вместо этого мы получаем либо очень большие либо очень маленькие значения типа float:

>>> tan(-pi/2)
# -1.633123935319537e+16
>>> tan(3*pi/2)    #  должно быть Inf, но
# 5443746451065123.0

math.asin(x):

Функция math.asin() возвращает арксинус значения x, т. е. такое значение угла y, выраженного в радианах при котором sin(y) = x.

>>> from math import *
>>> asin(sin(pi/6))
# 0.5235987755982988
>>> pi/6
# 0.5235987755982988

math.acos(x):

Функция math.acos() возвращает арккосинус значения x, т. е. возвращает такое значение угла y, выраженного в радианах, при котором cos(y) = x.

>>> from math import *
>>> acos(cos(pi/6))
0.5235987755982987
>>> pi/6
0.5235987755982988

math.atan(x):

Функция math.atan() возвращает арктангенс значения x, т. е. возвращает такое значение угла y, выраженного в радианах, при котором tan(y) = x.

>>> from math import *
>>> atan(tan(pi/6))
# 0.5235987755982988
>>> pi/6
# 0.5235987755982988

math.atan2(y, x):

Функция math.atan2() возвращает арктангенс значения y/x, т. е. возвращает такое значение угла z, выраженного в радианах, при котором tan(z) = x. Результат находится между -pi и pi.

>>> from math import *
>>> y = 1
>>> x = 2
>>> atan2(y, x)
# 0.4636476090008061
>>> atan(y/x)
# 0.4636476090008061
>>> tan(0.4636476090008061)
# 0.49999999999999994

Данная функция, в отличие от функции math.atan(), способна вычислить правильный квадрант в котором должно находиться значение результата. Это возможно благодаря тому, что функция принимает два аргумента (x, y) координаты точки, которая является концом отрезка начатого в начале координат. Сам по себе, угол между этим отрезком и положительным направлением оси X не несет информации о том где располагается конец этого отрезка, что приводит к одинаковому значению арктангенса, для разных отрезков, но функция math.atan2() позволяет избежать этого, что бывает очень важно в целом ряде задач. Например, atan(1) и atan2(1, 1) оба имеют значение pi/4, но atan2(-1, -1) равно -3 * pi / 4.

math.hypot(*coordinates):

Функция math.hypot() возвращает евклидову норму, sqrt(sum(x**2 for x in coordinates)). Это длина вектора от начала координат до точки, заданной координатами.

Для двумерной точки (x, y) это эквивалентно вычислению гипотенузы прямоугольного треугольника с использованием теоремы Пифагора sqrt(x*x + y*y).

Изменено в Python 3.8: Добавлена ​​поддержка n-мерных точек. Раньше поддерживался только двумерный случай.

У вас проблема с python и математическая проблема.

Этот код должен делать то, что вы хотите:

import math

a = 3 
b = 7 
c = 9

def angle (a, b, c):
    return math.degrees(math.acos((c**2 - b**2 - a**2)/(-2.0 * a * b)))

angA = angle(a,b,c)
angB = angle(b,c,a)
angC = angle(c,a,b)

assert angA + angB + angC == 180.0

print angA
print angB
print angC

Объяснения: ваша домашняя работа требует, чтобы вы вычислили угол для каждого или трех углов. Это делается по формуле, и три угла должны суммироваться до 180, как и каждый треугольник. Я сделал, чтобы создать функцию, которая принимает градусы acosine каждого угла (функция рассматривает порядок аргументов), а затем создала утверждение и распечатала результаты.

Важным моментом является то, что вы ввели ваши числа как целые числа (3, 7, 9), и в формуле есть деление. Это целочисленное деление, поскольку все в знаменателе и числителе являются целыми числами. Поэтому я использовал 2.0 чтобы сообщить Python, что это два числа с плавающей запятой, и все остальное затем преобразуется автоматически. Это несколько тонко, и вы должны обратить на это внимание.

Надеюсь, что это поможет, и не отказывайтесь от изучения, будь то Python и Math!