Калькулятор квадратных уравнений
Введите данные:
Округление:
* — обязательно заполнить
Уравнение:
(a * x^{2} + b * x + c) = (4 * x^{2} — 12 * x + 9) = 0
Дискриминант:
(D = b^{2} — 4 * a * c) = ((-12)^{2} — 4 * 4 * 9) = (144 — 144) = 0
Корни квадратного уравнения:
( x_{1} = frac{-b + sqrt{D}}{2*a}) = (frac{+12 + sqrt{0}}{2*4}) = 1.5
Решение по теореме Виета
Преобразование в приведённый вид
Преобразуем квадратное уравнение в приведенное (разделим все части нашего уравнения на коэффициент a):
(frac{a}{a}x^{2}+frac{b}{a}*x+frac{c}{a}) = (x^{2}+frac{-12}{4}*x+frac{9}{4}) = (x^{2} -3 * x + 2.25)
Итого, имеем приведенное уравнение:
(x^{2} -3 * x + 2.25 = 0)
Теорема Виета выглядит следующим образом:
(x_{1}*x_{2}=c)
(x_{1}+x_{2}=-b)
Мы получаем следующую систему уравнений:
(x_{1}*x_{2}=2.25)
(x_{1}+x_{2}=3)
Методом подбора получаем:
(x_{1} = x_{2} = 1.5)
Разложение на множители
Разложение происходит по формуле:
(a*(x-x_{1})*(x-x_{2}) = 0)
То есть у нас получается:
(4*(x-1.5)*(x-1.5) = 0)
Основной калькулятор для решения квадратных уравнений
Функция (можно несколько через ; )
Интервалы задаются через точку с запятой (; ). При задании интервалов и шага можно использовать математические выражения (прим. -4pi; (5/6)pi) или слово «авто» или оставить поля пустыми (эквивалентно «авто»)
Округление:
* — обязательно заполнить
Таблица точек функции f(x) = 4x^2-12x+9
Показать/скрыть таблицу точек
| x | f(x) |
|---|---|
| -10 | 529 |
| -9.5 | 484 |
| -9 | 441 |
| -8.5 | 400 |
| -8 | 361 |
| -7.5 | 324 |
| -7 | 289 |
| -6.5 | 256 |
| -6 | 225 |
| -5.5 | 196 |
| -5 | 169 |
| -4.5 | 144 |
| -4 | 121 |
| -3.5 | 100 |
| -3 | 81 |
| -2.5 | 64 |
| -2 | 49 |
| -1.5 | 36 |
| -1 | 25 |
| -0.5 | 16 |
| 0 | 9 |
| 0.5 | 4 |
| 1 | 1 |
| 1.5 | 0 |
| 2 | 1 |
| 2.5 | 4 |
| 3 | 9 |
| 3.5 | 16 |
| 4 | 25 |
| 4.5 | 36 |
| 5 | 49 |
| 5.5 | 64 |
| 6 | 81 |
| 6.5 | 100 |
| 7 | 121 |
| 7.5 | 144 |
| 8 | 169 |
| 8.5 | 196 |
| 9 | 225 |
| 9.5 | 256 |
| 10 | 289 |
Нули функции — это значения х, при которых данная функция = 0
Короче говоря, надо решить уравнение х² — 1/х — 1 = 0
(х — 1)(х + 1)/( х — 1 ) = 0⇒ х + 1 = 0 ⇒х = -1
4-10x+6x+9-4x^2-6x-13=0
-4x^2-10x=0
4x^2+10x=0
4x(x+2,5)=0
x1=0 x2=-2,5
4) an=3n-2
a1=3×1-2=1
a2=3×2-2=4
a3=3×3-2=7
a4=3×4-2=10
a5=3×5-2=13
a6=3×6-2=16
a7=3×7-2=19 эт точно правильно)) сама решала такое на доске)))
D= 5^2-4×4×28=25-16×28=25-448=-423
-
По теореме Виета
х₁+х₂=12/4
х₁х₂=9/4
х₁+х₂=3
х₁х₂=9/4
Так как произведение положительно, то оба корня или положительны или отрицательны.
Так как сумма положительны, это исключает случай отрицательных корней.
Значит оба корня положительны.
Осталось п о д о б р а т ь два числа, таких что их сумма равна 3, произведение равно 9/4.
х₁=х₂=3/2
В самом деле.
(3/2) + (3/2) = 3
(3/2) · (3/2) = 9/4
О т в е т. х₁=х₂=3/2
- Комментировать
- Жалоба
- Ссылка
Найди верный ответ на вопрос ✅ «Решите уравнение по теореме виета 4 х^2-12 х+9=0 …» по предмету 📙 Математика, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы
Новые вопросы по математике
Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а)
x
2
−
2
x
−
9
=
0
;
б)
3
x
2
−
4
x
−
4
=
0
;
в)
2
x
2
+
7
x
−
6
=
0
;
г)
2
x
2
+
9
x
+
8
=
0
.
reshalka.com
ГДЗ учебник по алгебре 8 класс Макарычев. 24. Теорема Виета. Номер №581
Решение а
x
2
−
2
x
−
9
=
0
D
=
1
2
+
9
=
10
x
=
1
±
10
x
1
=
1
−
10
x
2
=
1
+
10
Проверка:
x
1
+
x
2
=
1
−
10
+
1
+
10
=
2
;
x
1
x
2
=
(
1
−
10
)
(
1
+
10
)
=
1
−
10
=
−
9
.
Решение б
3
x
2
−
4
x
−
4
=
0
D
=
2
2
+
3
∗
4
=
4
+
12
=
16
x
=
2
±
16
3
x
1
=
2
−
4
3
=
−
2
3
x
2
=
2
+
4
3
=
6
3
=
2
Проверка:
3
(
x
1
+
x
2
)
=
3
(
−
2
3
+
2
)
=
3
∗
4
3
=
4
;
3
x
1
x
2
=
3
∗
(
−
2
3
)
∗
2
=
−
2
∗
2
=
−
4
.
Решение в
2
x
2
+
7
x
−
6
=
0
D
=
7
2
+
4
∗
2
∗
6
=
49
+
48
=
97
x
=
−
7
±
97
4
x
1
=
−
7
−
97
4
x
2
=
−
7
+
97
4
Проверка:
2
(
x
1
+
x
2
)
=
2
(
−
7
−
97
4
+
−
7
+
97
4
)
=
2
∗
(
−
7
2
)
=
−
7
;
2
x
1
x
2
=
2
∗
−
7
−
97
4
∗
−
7
+
97
4
=
−
97
−
49
8
=
−
48
8
=
−
6
.
Решение г
2
x
2
+
9
x
+
8
=
0
D
=
9
2
−
4
∗
2
∗
8
=
81
−
64
=
17
x
=
−
9
±
17
4
x
1
=
−
9
−
17
4
x
2
=
−
9
+
17
4
Проверка:
2
(
x
1
+
x
2
)
=
2
(
−
9
−
17
4
+
−
9
+
17
4
)
=
2
∗
(
−
9
2
)
=
−
9
;
2
x
1
x
2
=
2
∗
−
9
−
17
4
∗
−
9
+
17
4
=
−
17
−
81
8
=
64
8
=
8
.
Квадратное уравнение — это уравнение вида:
[a*x^{2}+b*x+c=0]
Решается это уравнение через вычисление дискриминанта и нахождение корней. В зависимости от знака дискриминанта, количество корней:
- больше нуля — два корня
- равен нулю — один корень
- меньше нуля — нет корней
Решить квадратное уравнение через дискриминант с формулами позволяет наш калькулятор:
Числовые значения в таблице заполняются числом (5; 5.16; -3.12), либо математическим выражением (5/7; (1-5)*2.13)
Введите данные:
Округление:
* — обязательно заполнить
Уравнение:
(a * x^{2} + b * x + c) = (-8 * x^{2} + 4 * x ) = 0
Дискриминант:
(D = b^{2} — 4 * a * c) = (4^{2} — 4 *(-8) * 0) = (16 ) = 16
Корни квадратного уравнения:
(x_{1} = frac{-b + sqrt{D}}{2*a}) = (frac{-4 + sqrt{16}}{2*(-8)}) = (frac{-4 + 4}{-16}) = 0
(x_{2} = frac{-b — sqrt{D}}{2*a}) = (frac{-4 — sqrt{16}}{2*(-8)}) = (frac{-4 — 4}{-16}) = 0.5 (1/2)
Решение по теореме Виета
Преобразование в приведённый вид
Преобразуем квадратное уравнение в приведенное (разделим все части нашего уравнения на коэффициент a):
(frac{a}{a}x^{2}+frac{b}{a}*x+frac{c}{a}) = (x^{2}+frac{4}{-8}*x+frac{0}{-8}) = (x^{2} -0.5 * x )
Итого, имеем приведенное уравнение:
(x^{2} -0.5 * x = 0)
Теорема Виета выглядит следующим образом:
(x_{1}*x_{2}=c)
(x_{1}+x_{2}=-b)
Мы получаем следующую систему уравнений:
(x_{1}*x_{2}=0)
(x_{1}+x_{2}=0.5)
Методом подбора получаем:
(x_{1} = 0)
(x_{2} = 0.5 (1/2))
Разложение на множители
Разложение происходит по формуле:
(a*(x-x_{1})*(x-x_{2}) = 0)
То есть у нас получается:
(-8*(x)*(x-0.5) = 0)
Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, где c=0. Формула неполного квадратного уравнения:
[a*x^{2}+b*x=0]
Его наш калькулятор также с успехом решает.
2.5
6
голоса
Рейтинг статьи
Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.
С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).
Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения (81x^2-16x-1=0) ответ выводится в такой форме:
$$ x_1 = frac{8+sqrt{145}}{81}, quad x_2 = frac{8-sqrt{145}}{81} $$
а не в такой: ( x_1 = 0,247; quad x_2 = -0,05 )
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода квадратного многочлена
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: ( 3frac{1}{3} — 5frac{6}{5} z + frac{1}{7}z^2 )
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Примеры подробного решения >>
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
( -x^2+6x+1{,}4=0, quad 8x^2-7x=0, quad x^2-frac{4}{9}=0 )
имеет вид
( ax^2+bx+c=0, )
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения
называют квадратными уравнениями.
Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа,
причём ( a neq 0 ).
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и
число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax2+bx+c=0, где ( a neq 0 ), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название:
квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.
Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
( x^2-11x+30=0, quad x^2-6x=0, quad x^2-8=0 )
Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют
неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 — неполные
квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax2+c=0, где ( c neq 0 );
2) ax2+bx=0, где ( b neq 0 );
3) ax2=0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+c=0 при ( c neq 0 ) переносят его свободный член в правую часть
и делят обе части уравнения на a:
( x^2 = -frac{c}{a} Rightarrow x_{1,2} = pm sqrt{ -frac{c}{a}} )
Так как ( c neq 0 ), то ( -frac{c}{a} neq 0 )
Если ( -frac{c}{a}>0 ), то уравнение имеет два корня.
Если ( -frac{c}{a}<0 ), то уравнение не имеет корней (квадратный корень из отрицательного числа извлекать нельзя).
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+bx=0 при ( b neq 0 ) раскладывают его левую часть на множители
и получают уравнение
( x(ax+b)=0 Rightarrow left{ begin{array}{l} x=0 \ ax+b=0 end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} x=0 \ x=-frac{b}{a} end{array} right. )
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0 при ( b neq 0 ) всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax2=0 равносильно уравнению x2=0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого
квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax2+bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
( x^2+frac{b}{a}x +frac{c}{a}=0 )
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
( x^2+2x cdot frac{b}{2a}+left( frac{b}{2a}right)^2- left( frac{b}{2a}right)^2 + frac{c}{a} = 0 Rightarrow )
( x^2+2x cdot frac{b}{2a}+left( frac{b}{2a}right)^2 = left( frac{b}{2a}right)^2 — frac{c}{a} Rightarrow )
( left( x+frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2}{4a^2} — frac{c}{a} Rightarrow left( x+frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2-4ac}{4a^2} Rightarrow )
( x+frac{b}{2a} = pm sqrt{ frac{b^2-4ac}{4a^2} } Rightarrow x = -frac{b}{2a} + frac{ pm sqrt{b^2-4ac} }{2a} Rightarrow )
( x = frac{ -b pm sqrt{b^2-4ac} }{2a} )
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax2+bx+c=0 («дискриминант» по латыни —
различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
( D = b^2-4ac )
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
( x_{1,2} = frac{ -b pm sqrt{D} }{2a} ), где ( D= b^2-4ac )
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень ( x=-frac{b}{2a} ).
3) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней, т.к. извлекать корень из отрицательного числа нельзя.
Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень
(при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).
При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать,
что корней нет.
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax2-7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.
Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному
члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x2+px+q=0
обладают свойством:
( left{ begin{array}{l} x_1+x_2=-p \ x_1 cdot x_2=q end{array} right. )