Расчет гипотенузы по теореме пифагора

Теорема пифагора

Определение теоремы пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обозначив гипотенузу буквой — c, катеты буквами a и b получим следующее равенство

c²=a²+b²

Расчёт катета по теореме пифагора

Введите гипотенузу

c =

Введите катет

b =

Формула пифагора для катета

Где a, b — катеты прямоугольного треугольника,
с — гипотенуза прямоугольного треугольника

Расчёт гипотенузы по теореме пифагора

Введите первый катет

a =

Введите второй катет

b =

Формула пифагора для гипотенузы

Где a, b — катеты прямоугольного треугольника,
с — гипотенуза прямоугольного треугольника

Доказательство теоремы пифагора

Дано

Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Доказать

c²=a²+b²

Доказательство

Достроим треугольник HFG до квадрата со стороной a+b.

Запишем площадь получевшегося квадрата двумя способами

S=(a+b)²

S=4*0.5*a*b +c²

Приравняем площади

(a+b)²=4*0.5*a*b +c²

a²+2*a*b +b²=2*a*b +c²

a²+b²=c²

Теорема доказана

Источник

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для нахождения катета и гипотенузы в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора.

Инструкция по использованию: введите длины двух известных сторон треугольника (одного из катетов и гипотенузы или двух катетов), затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена длина третьей стороны.

Содержание
скрыть

Нахождение катета
Нахождение гипотенузы

Нахождение катета

Формулы расчета

Нахождение гипотенузы

Формула расчета

Источник

Загрузить PDF

Все прямоугольные треугольники имеют один прямой угол (90 градусов), а противоположная ему сторона называется гипотенузой.^[1] Гипотенуза — самая длинная сторона треугольника, и найти ее можно различными способами. В этой статье мы расскажем вам, как найти гипотенузу по теореме Пифагора (когда известны длины двух других сторон треугольника), по теореме синусов (когда известны длина катета и угол) и в некоторых частных случаях (часто такие задания встречаются на контрольных и тестах).

1

Теорема Пифагора связывает все стороны прямоугольного треугольника.^[2] Согласно данной теореме, в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» и гипотенузой «с»: a² + b² = c².^[3]
2
Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.
- Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата.
3
Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты — стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу — как «с» (гипотенуза — самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла). Затем подставьте данные вам значения в формулу.
- Например, катеты треугольника равны 3 и 4. В этом случае а = 3, b = 4, а формула выглядит так: 3² + 4² = c².
4
Возведите в квадрат значения катетов («a» и «b»). Для этого просто умножьте число само на себя:
- Если a = 3, то a² = 3 x 3 = 9. Если b = 4, то b² = 4 x 4 = 16.
- Подставьте эти значения в формулу: 9 + 16 = с².
5
Сложите найденные квадраты катетов (a² и b²), чтобы вычислить квадрат значения гипотенузы (с²).
- В нашем примере 9 + 16 = 25, поэтому с² = 25.
6
Найдите квадратный корень с². Используйте калькулятор, чтобы извлечь квадратный корень из найденного значения. Так вы вычислите гипотенузу треугольника.
- В нашем примере с² = 25. Квадратный корень из 25 равен 5 (так как 5 х 5 = 25, поэтому √25 = 5). Это означает, что гипотенуза с = 5.
Реклама

1
Определение пифагоровой тройки. Пифагорова тройка — это три числа (длины трех сторон), которые удовлетворяют теореме Пифагора. Очень часто треугольники с такими сторонами приводятся в учебниках и на тестах. Если вы запомните первые несколько пифагоровых троек, вы сэкономите много времени на тестах или экзаменах, потому что сможете вычислить гипотенузу, просто взглянув на длины катетов.^[4]
- Первая пифагорова тройка: 3-4-5 (3² + 4² = 5², 9 + 16 = 25). Если дан треугольник с катетами 3 и 4, то вы можете с уверенностью заявить, что гипотенуза равна 5 (без необходимости делать какие-либо расчеты).
- Пифагоровы тройки работают даже в том случае, когда числа умножены или разделены на один коэффициент. Например, если катеты равны 6 и 8, гипотенуза равна 10 (6² + 8² = 10², 36 + 64 = 100). То же самое верно для 9-12-15 и даже для 1,5-2-2,5.
- Вторая пифагорова тройка: 5-12-13 (5² + 12² = 13², 25 + 144 = 169). Также к этой тройке относятся, например, числа 10-24-26 и 2,5-6-6,5.
2
Равнобедренный прямоугольный треугольник. Это такой треугольник, углы которого равны 45,45 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:1:√2. Это означает, что гипотенуза в таком треугольнике равна произведению катета и квадратного корня из 2.
- Чтобы вычислить гипотенузу такого треугольника, просто умножьте длину любого катета на √2.^[5]
- Это соотношение особенно удобно, когда в задачах вместо числовых значений даются переменные.
3
Половина равностороннего прямоугольного треугольника. Это такой треугольник, углы которого равны 30,60 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:√3:2 или х:х√3:2х. Чтобы найти гипотенузу в таком треугольнике выполните одно из следующих действий:^[6]
- Если вам дан короткий катет (противолежащий углу в 30 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4, то гипотенуза равна 8.
- Если вам дан длинный катет (противолежащий углу в 60 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2/√3, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4, то гипотенуза равна 4,62.
Реклама

1

Поймите, что означает «синус». Синус, косинус и тангенс угла — это основные тригонометрические функции, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. Обозначается синус как sin.^[7]
2
Научитесь вычислять синус. Чтобы вычислить синус, на калькуляторе найдите клавишу sin, нажмите ее, а затем введите значение угла. В некоторых калькуляторах сначала нужно нажать клавишу перехода к работе с функциями, а затем нажать клавишу sin. Поэтому поэкспериментируйте с калькулятором или проверьте его документацию.
- Чтобы найти синус угла в 80 градусов, нажмите «sin», «8», «0», «=» или нажмите «8», «0», «sin», «=» (ответ: -0,9939).
- Вы также можете найти онлайн-калькулятор, введя в поисковой системе «вычисление синуса» (без кавычек).^[8]
3
Запомните теорему синусов. Теорема синусов является полезным инструментом для вычисления углов и сторон любого треугольника. В частности, она поможет вам найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если вам дан катет и угол, отличный от прямого. Согласно теореме синусов, в любом треугольнике со сторонами a, b, c и углами A, B, C верно равенство a / sin A = b / sin B = c / sin С.^[9]
- Теорема синусов применяется к любым треугольникам, а не только к прямоугольным (но только в прямоугольном треугольнике есть гипотенуза).
4

Обозначьте стороны треугольника через «а» (известный катет), «b» (неизвестный катет), «с» (гипотенуза). Затем обозначьте углы треугольника через «А» (напротив катета «а»), «В» (напротив катета «b»), «С» (напротив гипотенузы).
5
Найдите третий угол. Если вам дан один из острых углов прямоугольного треугольника (А или В), а второй угол всегда равен 90 градусам (С = 90), то третий угол вычисляется по формуле 180 — (90 + А) = B (помните, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам). При необходимости уравнение можно изменить и так: 180 — (90 + B) = A.
- Например, если угол A = 40 градусам, то B = 180 — (90 + 40) = 180 — 130 = 50 градусов.
6
На данном этапе вам известны значения всех трех углов и длина катета «а». Теперь вы можете подставить эти значения в формулу теоремы синусов, чтобы найти две другие стороны.
- В нашем примере допустим, что катет а = 10, а углы равны C = 90˚, A = 40˚, В = 50˚.
7

Подставьте данные и найденные значения в теорему синусов, чтобы найти гипотенузу: катет «а»/синус угла «A» = гипотенуза «с»/синус угла «С». При этом sin 90˚ = 1. Таким образом, уравнение упрощается до: а/sinA = с/1 или с = а/sinA.
8
Разделите длину катета «а» на синус угла «А», чтобы найти длину гипотенузы. Для этого сначала найдите синус угла, а затем выполните деление. Или вы можете воспользоваться калькулятором, введя 10/(sin40) или 10/(40sin) (не забудьте про скобки).
- В нашем примере sin 40 = 0,64278761, а с = 10/0,64278761 = 15,6.
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 307 795 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Гипотенуза — сторона в прямоугольном треугольнике, находящаяся напротив прямого угла. Две других стороны — катеты. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (формула: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты). Очень часто для вычисления гипотенузы используется именно эта теорема.

Как найти гипотенузу?

Как найти гипотенузу, зная катеты?

Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).

Например:

Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:

c² = 3² + 4² <=> c² = 9 + 16 <=> c² = 25 <=> c = √25 <=> c = 5.

Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).

Как найти катет в прямоугольном треугольнике

По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:

Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:

(c — гипотенуза, a и b — катеты)

Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.

Применяем формулу b = √c² — a² ⇔

b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.

Как найти гипотенузу, зная катет и угол?

Если есть противолежащий катет — теорема синусов

Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).

Формула:

Например:

Известна одна сторона треугольника 𝐴𝐶 = √2 и ∠β = 45º.

∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).

Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.

Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.

Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:

BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º

В таблице вы найдёте значения для синуса:

sin 45º	√2/2
sin 60º	√3/2
sin 90º	1

В условии задачи нам дано: 𝐴𝐶 = √2, значит:

BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º

Подставляем значения синуса из таблицы:

BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔

BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)

Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:

AB/(√2/2) = 2 ⇔ AB = √2

Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.

Если есть прилежащий катет — по косинусу

Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).

Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.

Например:

Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).

Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.

Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.

BC = 1/ (√2/2) = √2

Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.

Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).

Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.

Например:

Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.

Формула b = √2a². Подставляем:

b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899

Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):

c² = a² + b²

c² = 7² + 7²

c² = 49 + 49

c² = 98

c = √98

c ≈ 9.899

Ответ: гипотенуза равна 9.899.

Узнайте больше про Теорему Пифагора, Теорему косинусов, а также, что такое Тангенс и Аксиома.

Источник

Use the Pythagorean theorem to solve the length of any side of a right triangle or its area by entering known leg or hypotenuse values.

Solve For:

Solution and Steps:

Steps to Solve

a= c² — b²

a= 5² — 3²

a= 25 — 9

a=16

a=4

Learn how we calculated this below

scroll down

What is the Pythagorean Theorem?

The Pythagorean theorem, sometimes called Pythagoras’ theorem, is an equation that relates the three sides of a right triangle, the two shorter sides (often called legs), and the longest side, called the hypotenuse.

The Pythagorean theorem can be used to solve any side if the length of the other two sides is known.

The Pythagorean theorem states that the length of the hypotenuse squared is equal to the sum of the squares of each leg.

Pythagorean Theorem Formula

The Pythagorean theorem is expressed using the following equation, where a and b are the side lengths of the two legs, and c is the length of the hypotenuse:

a² + b² = c²

Thus, side a squared plus side b squared is equal to the square of the hypotenuse c.

How to use the Pythagorean Theorem for Right Triangles

Given the length of any two sides of a right triangle, the Pythagorean theorem is used to solve the length of the third side. To solve, replace the values of a, b, or c in the formula with the two known values and solve the equation.

The following formulas are derived from the Pythagorean theorem to solve for any side of a right triangle.

Find the Length of Leg a

The length of leg a can be found using the following formula:

a = c² – b²

The length of leg a is equal to the square root of c squared minus b squared.

Find the Length of Leg b

The length of leg b can be found using the following formula:

b = c² – a²

The length of leg b is equal to the square root of c squared minus a squared.

Find the Length of Hypotenuse c

The length of hypotenuse c can be found using the following formula:

c = a² + b²

The hypotenuse c is equal to the square root of a squared plus b squared.

Inverse Pythagorean Theorem

While the Pythagorean theorem relates the lengths of each side, the Inverse Pythagorean Theorem (sometimes called the Reciprocal Pythagorean Theorem) relates the side lengths to the height, or altitude, to the hypotenuse of a right triangle.

Since sides a and b are equal to the heights of the other side, the inverse Pythagorean theorem defines the relationship between the short sides and the height perpendicular to the hypotenuse.

The Inverse Pythagorean theorem states that if a right triangle with vertices A, B, and C is divided into two triangles by its height h at point D along side c, then the area of △ABC is equal to the area of △ACD plus the area of △BCD.

The length of the sides of these new triangles can be defined using the Pythagorean Theorem as follows:

1 / AC² + 1 / BC² = 1 / CD²

Note, AC, BC, and CD represent the length of the line segments connecting the respective vertices. This can be rewritten to more simply express the height of a right triangle:

1 / a² + 1 / b² = 1 / h²

Thus, the Inverse Pythagorean theorem says that the reciprocal of side a squared plus the reciprocal of side b squared is equal to the reciprocal of height h squared.

This can be further reduced to solve for the height given sides a, b, and c.

hc = ab
c = ab / h

You can also use our right triangle calculator to calculate the angles, area, or perimeter.

Pythagorean Triangles

A Pythagorean triangle is a special right triangle where each side length is a whole number. This is also called a Pythagorean triple.

The smallest Pythagorean triple is one with sides of lengths 3, 4, & 5. A primitive Pythagorean triple is a Pythagorean triple where the largest common divisor between them is 1.

For instance, the Pythagorean triple (3, 4, 5) is considered primitive since the largest common divisor is 1. On the other hand, the triple (9, 12, 15) is not primitive since the largest common divisor is 3.

Interestingly, both the area and inradius of a Pythagorean triple will also be whole numbers.

Some other examples of special right triangles are the 30 60 90 right triangle and the 45 45 90 right triangle.

Источник

Теорема пифагора

Определение теоремы пифагора

Расчёт катета по теореме пифагора

Формула пифагора для катета

Расчёт гипотенузы по теореме пифагора

Формула пифагора для гипотенузы

Доказательство теоремы пифагора

Нахождение катета

Нахождение гипотенузы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Как найти гипотенузу?

Как найти гипотенузу, зная катеты?

Как найти катет в прямоугольном треугольнике

Как найти гипотенузу, зная катет и угол?

Если есть противолежащий катет — теорема синусов

Если есть прилежащий катет — по косинусу

Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника

Solution and Steps:

Steps to Solve

On this page:

What is the Pythagorean Theorem?

Pythagorean Theorem Formula

How to use the Pythagorean Theorem for Right Triangles

Find the Length of Leg a

Find the Length of Leg b

Find the Length of Hypotenuse c

Inverse Pythagorean Theorem

Pythagorean Triangles

Добавить комментарий Отменить ответ