Актуальность доказательства теоремы пифагора

Руководитель: 

Учреждение: 

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Теорема Пифагора» учеником 9 класса гимназии была поставлена и реализована цель рассмотреть практическое применения теоремы Пифагора в разных сферах деятельности человека и областях науки, помимо математики.

Подробнее о проекте:

В ученической исследовательской работе по математике «Теорема Пифагора» автор проводит анализ учебно-методической литературы и находит интересные сведения о Пифагоре. Также в проекте представлена правильная формулировка Теоремы Пифагора, приведено доказательство теоремы и представлены знаменитые философские высказывания Пифагора.

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Теорема Пифагора» учащимся дано доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники, а также рассмотрено применение теоремы Пифагора в строительстве, в мобильной связи, в астрономии и в литературе. Школьник рассуждает над актуальностью применения теоремы Пифагора в повседневной жизни человека.

Оглавление

Введение
1. Это интересно знать.
2. Формулировка теоремы Пифагора.
3. Доказательство теоремы.
4. Философские высказывания Пифагора.
5. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.
6. Применение теоремы Пифагора. Строительство.
7. Мобильная связь.
8. Астрономия.
9. Литература.
10. Применение теоремы Пифагора.
Выводы и заключение
Список литературы

Введение

На уроках геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем геометрии для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели одно из ее доказательств, также узнали, что существуют и другие способы доказательства.

Трудно найти человека, для которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Почти у каждого сохранились воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость. Однако теорема Пифагора проста, но не так очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Кроме этого, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора, можно находить ее новые применения и способы доказательств.

С одной стороны – теорема Пифагора изучается и доказывается в школьном курсе геометрии, а с другой стороны — школьного материала явно недостаточно для того, чтобы показать ее практическую значимость в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека.

Цель работы: Изучение практического применения теоремы Пифагора.

Задачи работы:

1. Изучение биографии Пифагора.
2. Изучение истории появления и развития теоремы Пифагора.
3. Рассмотрение доказательства теоремы Пифагора.
4. Подобрать интересные задачи, решаемые с помощью теоремы Пифагора.

Основные методы исследования: Метод исследования, систематизации и обработки данных.

Гипотеза: если теорема Пифагора так популярна и сегодня, то в ней заложены такие основы, которые позволяют использовать ее в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека.

Объект исследования: практическое применение теоремы Пифагора в современной деятельности человека.

Предмет исследования: теорема Пифагора.

Это интересно знать

Пифагор родился (580-500 до н.э.) на острове Самос, одном из самых цветущих островов Ионии, в семье богатого ювелира. Он был очень красив и с детства отличался разумом и справедливостью. С юных лет Пифагор стремился проникнуть в тайны Вечной Природы, постичь смысл Бытия. Знания, полученные им в храмах Греции, не давали ответов на все волнующие его вопросы, и он отправился в поисках мудрости в Египет.

В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса и получил посвящение высшей степени. Здесь же он глубоко изучил математику, науку чисел или всемирных принципов, из которой впоследствии сделал центр своей системы. Кроме того, что Пифагор был математиком, он также имел отношение к литературе и философии.

Пифагора можно отнести и к великим мыслителям своего времени. Одна из самых главных заслуг Пифагора-это доказательство теоремы, которая носит его имя. Существует около 500 способов её доказательства, и это одна из теорем, которая доказывает большую часть математических теорем.

Формулировка теоремы Пифагора

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника:

Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.a²+b²=c²

Нужно знать зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Эту зависимость подметили еще в глубокой древности и доказали теорему, которую знают теперь почти все школьники. Эта теорема носит имя Пифагора.

Квадраты, построенные на катетах, состоят из 2-х  одинаковых треугольников. А квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из 4-х таких треугольников. Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, сначала был дан для равнобедренных треугольников. Таким образом, площадь квадрата построенного на стороне С, равна сумме площадей квадратов, построенных на сторонах А и В.

Доказательство теоремы

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. И в этом случае так же площадь квадрата построенного на гипотенузе С, будет равна сумме площадей квадратов, построенных на сторонах А и В.

Задача

Древние египтяне для построения прямоугольных треугольников пользовались веревкой с завязанными на ней на одинаковых расстояниях узелками. По одной стороне они откладывали 3 отрезка, на другой 4, а на третьей 5.  Правильно ли они поступали?

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 теперь  мы называем египетским.

Философские высказывания Пифагора

1. Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не заставит раскаиваться.
2. Статуя формой своей хороша, а человека украсят дела.
3. Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает.

Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники

Пусть треугольник ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C.

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание высоты обозначим как H.

Прямоугольный треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам (∠ACB=∠CHA=90%, ∠A- общий). Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

Введя обозначения

BC=a, AC=b, AB=c

из подобия треугольников получаем, что

a/c=H/B, b/c=A/H

Отсюда имеем, что

a2=c⋅HB,  b2=c⋅AH

Сложив полученные равенства, получаем

a2+b2=c⋅HB+c⋅AH

a2+b2=c⋅(HB+AH)

a2+b2=c⋅AB

a2+b2=c⋅c

a2+b2=c2

Что и требовалось доказать.

Применение теоремы Пифагора. Строительство

Задача 1

От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте

3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода.

Решение задачи

Изобразим рисунок схематично. Проведем отрезок СЕ, параллельный AD. AECD — прямоугольник, т.к. все углы прямые. Следовательно, СЕ=AD.

По теореме Пифагора

BC2=CE2+EB2

BC2=82 + (9-3)2

BC2=64+36

BC2=100  

BC=10.

Ответ:10.

Задача 2

Длина стремянки в сложенном виде равна 1,85 м, а её высота в разложенном виде составляет 1,48 м. Найдите расстояние (в метрах) между основаниями стремянки в разложенном виде.

Решение задачи

Данная задача сводится к нахождению катета прямоугольного треугольника. Пусть х — искомое расстояние, тогда:

Ответ: 2,22.

Задача 3

Девочка прошла от дома по направлению на запад 880 м. Затем повернула на север и прошла 900 м. После этого она повернула на восток и прошла ещё 400 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?

Решение задачи

Восток и запад — противоположные направления, поэтому девочка прошла 880 − 400 = 480 м на запад. Пусть  — гипотенуза прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора, гипотенуза ищется следующим образом:

Ответ: 1020.

Мобильная связь

Задача 5

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение задачи

Пусть AB=x, BC=R=200 км, OC=r=6380 км.

OB=OA+AB

OB= r + x.

Используя теорему Пифагора, получим 23 км

Ответ: 23 км.

Астрономия

Задача 6

На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч — прямой. Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?

Решение задачи

На этом рисунке показан путь светового луча только с другой точки зрения, например из космического корабля. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми движется световой луч, станут двигаться вправо с той же скоростью.Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, исходная точка A смещается, и луч возвращается уже в новую точку C.

Вконце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремыПифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Литература

Теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.
Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца Пифагора.
С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.
Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме…

В 20 веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу! И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

В книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путём К результату мы придём.

Применение теоремы Пифагора

Успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Теорема Пифагора применяется в строительстве, астрономии, мобильной связи, литературе  и т.д.

Заключение

В научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Теорема Пифагора — одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Теорема Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. Мы познакомились с некоторыми доказательствами теоремы Пифагора.

Есть доказательства, которые рассчитаны на то, что по готовым рисункам, можно воспроизвести доказательство самостоятельно. А это воспитывает познавательный интерес и логическое мышление. До сих пор вызывают интерес древние практические задачи, говорящие об уровне развития прикладной математики в древние века.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»,2002г.
2. Погорелов А.В.«Геометрия 7-11», М.«Просвещение»1992г.
3. Волошинов А.В. «Пифагор», М. «Просвещение», 1993г.
4. Литцман В. «Теорема Пифагора»,М. «Государственное издательство физико-математической литературы», 1960г.
5. Руденко В.Н. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»1992г.
6. Еленьский Щ. По следам Пифагора М. 1961г.

Государственное
учреждение образования

«Гимназия № 38 г.
Минска»

Исследовательская
работа

по математике

«Практическое
применение теоремы Пифагора»

Выполнили:
Матвеева Алёна, 8 «Г» класс,

                                                                
                  Бруева Элеонора, 8 «Г» класс

Руководитель:
Милевская Т.Е.

2021 год

  Пояснительная
записка

«Геометрия владеет
двумя сокровищами:

одно из них –  это
теорема Пифагора»  Иоганн Кеплер

Актуальность: по
выражению известного ученого Иоганна Кеплера, «геометрия владеет двумя
сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно
сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Теорема Пифагора –
одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее
состоит в том, что с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Один американский
математик, наш современник, около 20 лет собирал различные способы
доказательства теоремы Пифагора, и сейчас его «коллекция» содержит около 300
различных доказательств. Это говорит о том, что древняя теорема актуальна и
интересна людям до сих пор.

Новизна: в
школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только
математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы
Пифагора не рассматривается.

         В
настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих
областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.
Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение
математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает
создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования,
которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Объект
исследования:  теорема Пифагора.

Предмет
исследования: различные интерпретации и  способы доказательства теоремы
Пифагора, ее применение  при решении практических задач.

Изучая
дополнительную литературу по выбранной теме, были  выдвинуты гипотезы:

    1)существуют
другие интерпретации теоремы Пифагора;

    2)теорема
Пифагора применяется при решении многих практических задач.

    3) За красоту
и гармонию в природе «отвечает» математика. То есть, особые числовые

      
закономерности существуют во всем, что нас окружает.

    4) С помощью
теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи.

Цели исследования:

— внимательно
изучив формулировку  теоремы Пифагора, проанализировав доказательства и
используя обобщение, рассмотреть иные интерпретации теоремы Пифагора;

— выяснить области
применения теоремы Пифагора

Для достижения
цели были поставлены следующие задачи:

1.      Провести
анализ истории возникновения теоремы Пифагора и творческой деятельности
Пифагора.

2.      Исследовать
различные способы доказательства и рассмотреть иные интерпретации теоремы
Пифагора.

3.      Показать
практическое применение теоремы Пифагора.

Практическая 
значимость:

•        Использование 
приобретенных знаний и навыков исследовательской работы  при изучении других
школьных предметов.

•        Расширение
и углубление знаний учащихся по данной теме.

•        Формирование
навыков исследовательской деятельности учащихся.

•        Развитие
познавательной активности учащихся, повышение интереса к предмету.

•        Совершенствование
навыков работы с математической литературой.

Умения и навыки:

•        Организация 
и проведение   эксперимента.

•        Использование 
специальной литературы.

•        Приобретение 
умения  делать обзор  собранного материала (доклад, презентацию, реферат).

•        Оформление
работы    рисунками, диаграммами, фотографиями.

•        Активное 
участие   в обсуждении  своей работы.                                            

Оглавление

     I 
Введение. ……………………………………………………………………стр.4 – 5

   
II Основная часть…………………………………………
стр. 6 – 23

1. Немного о
Пифагоре………………………………………………………стр.6 — 8

2. История
возникновения теоремы Пифагора………………………………стр.8 — 9

3. Различные
способы доказательства теоремы Пифагора..
…………стр.10-15

4. Исторические
задачи………………………………………………………стр.15-16

5. Теорема
Пифагора в

·       
строительстве
и архитектуре……………………………………………стр.17-19

·       
мобильной
связи…………………………………………………………стр.20

·       
литературе………………………………………………….тр.20-21

III. Заключение
…………………………………………………………………стр.22

     
IV. Литература…………………………………………………………………стр.23

 В школьном курсе
геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. Вопрос
о практическом применении теоремы Пифагора почти не рассматривается. В
связи с этим, целью нашей  работы было выяснить области применения теоремы
Пифагора.

         В
настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих
областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.
Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение
математических методов в технику и народное хозяйство.

Гипотеза:

1)  Существуют
другие интерпретации теоремы Пифагора;

2) С помощью
теоремы Пифагора можно решать многие практические задачи.

Цель: выяснить
области применения теоремы Пифагора.

Задачи:

1.     Собрать информацию
о практическом применении теоремы Пифагора в различных источниках и определить
области применения теоремы.

2.     Изучить некоторые
исторические сведения о Пифагоре и о его теореме.

3.     Показать
применение теоремы при решении исторических задач.

4.     Обработать
собранные данные по теме.

5.     Оформить
наработанный материал в виде проекта.

Пифагор  и его
теорема

       В Интернете
мы самостоятельно ознакомились с практическим применением теоремы и
историческими задачами. Вопрос о практическом применении теоремы Пифагора и о
самом Пифагоре в школьном учебнике геометрии В.В.Казакова, по которому
занимались мы,  не освещен. Упоминается лишь немного о биографии Пифагора и о
том, как древние египтяне строили прямые углы с помощью веревки, разделенной на
12 равных частей (3,4,5).

      Великий
ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самос (откуда и пошло
прозвище Пифагор Самосский), одном из самых цветущих островов Ионии, у берега
Малой Азии,  в семье богатого ювелира. Он был очень красив и с детства
отличался разумом и справедливостью. С юных лет Пифагор стремился проникнуть в
тайны Вечной Природы, постичь смысл Бытия.        

       Пифагор –
это греческий ученый, религиозный и политический деятель. Трудно сказать, какие
научные идеи принадлежали Пифагору, какие – его воспитанникам. Но рассказывают,
что Пифагор, доказав свою знаменитую теорему, отблагодарил богов, принеся им в
жертву 100 быков. 

 Другие
формулировки теоремы.

     У Евклида эта
теорема гласит (дословный перевод):

   «В
прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен
квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

   В Geometria
Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так :

«Итак,
площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух
квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому
углу».

   Во времена
Пифагора формулировка теоремы звучала так: «Площадь квадрата, построенного
на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов,
построенных на катетах» 

Современная
формулировка теоремы гласит:

«В прямоугольном
треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»   

 Различные
способы доказательства теоремы Пифагора

   Существует
более 500  доказательств теоремы Пифагора. Она даже занесена в книгу рекордов
Гиннеса!  Простейшее доказательство теоремы есть у древнегреческого математика
Евклида. Ученые считают, что это доказательство теоремы Евклид придумал сам. В
древности, теорему Пифагора знали лишь отдельные ученые, посвященные в таинства
математики, теперь ее учат все.

Пифагором сначала
был доказан лишь частный случай теоремы: им рассматривался равнобедренный
прямоугольный треугольник. Чертеж, который используют для доказательства этого
случая, в шутку называют «пифагоровы штаны» и добавляют: во все стороны равны.

Знакомясь с
разными способами доказательства теоремы Пифагора, мы заметили, что одни из них
основаны на свойстве равносоставленных фигур,  другие – на дополнении до равных
фигур, а третьи — на свойстве равновеликих фигур (имеющие равные площади).

Простейшее
доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного
прямоугольного треугольника. Например, для такого треугольника АВС: квадрат,
построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты,
построенные на катетах, — по 2. Теорема доказана. 

Теорема Пифагора в
исторических задачах

Предлагаем
несколько исторических  задач, найденных в древних источниках.

 Задача
Бхаскари

 «На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
 У тополя как велика высота?»

Решение: По
теореме Пифагора АВ²= ВС²+АС² ;9+16=25, АВ=5
Футов; СD=3+5=8 футов.
Ответ: высота тополя 8 футов.

Задача из
китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется
водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который
выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз
коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды, и какова длина камыша?».  
Решение: По теореме Пифагора (x+1)²=x²+25; 2x=24, x=12 чи.; 12+1=13
чи.

Ответ: глубина
воды-12 чи, длина камыша-13 чи.

Задача из учебника
«Арифметика» Леонтия Магницкого                                       «Случися
некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И
обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы
нижний конец от стены отстояти имать». Решение: ВС²=АВ²-АС²;
ВС²=15625-13689=44 стоп. Ответ: ВС=44 стоп. (Приложение№3). 

Теорема Пифагора
в  строительстве и архитектуре

             Очень
легко можно воспроизвести способ построения

«натягивателями
веревок» прямых углов при помощи прямоугольных треугольников со сторонами
3, 4 и 5. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на
расстоянии 3м. от одного конца и 4
метра от другого. Прямой угол окажется заключенным

между сторонами
длиной в 3 и 4 метра. 

Мы попробовали
сами применить этот метод для получения прямого угла на местности.

Строительство
крыши

    
При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для
крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить
двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если
изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.      Решение:     Треугольник
ADC — равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м.,
тогда из треугольника DBC: DB=2,5 м.,  из треугольника АВF:  АF=√4²+4²=√32≈5,7
м. 

Мы знаем теперь,
что для строительства крыши дома обязательно надо применить теорему Пифагора.
При проектировании любых строительных объектов возникает необходимость
вычислять стороны прямоугольных треугольников по известным сторонам. Подобные
задачи решаются и в нашей повседневной жизни.

Теорема Пифагора в
реальной жизни

Когда мы проводили
на дачу свет, нам надо было рассчитать длину  электрического провода от домика
высотой 2,5м  до столба высотой 8,5м.

«Выручила» 
теорема Пифагора . (Расстояние от  столба до домика 8
м)

Установка  ёлки

На
Новый год всюду устанавливают елки. Ёлка стоит неустойчиво (это проблема) и под
воздействием природных явлений (чаще сильного ветра) накреняется и может 
упасть. Нужно установить ёлку высотой 8м. и закрепить её в вертикальном
положении. Для этого от вершины ёлки надо сделать проволочные натяжки АВ, АМ,
АК одинаковой длины и закрепить на земле на расстоянии 6м от основания елки.

Длина натягивающей
проволоки должна 10м., т.к. по теореме Пифагора АВ²= АС²+ВС²;

АВ==10 м.

В мобильной связи

         В
настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди
операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше
потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится
решать задачу какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу
можно было принимать в определенном радиусе.

Задача: Какую
наименьшую высоту должна иметь вышка мобильной связи, поставленной в аг
Колодищи, чтобы микрорайон Уручье попал в зону связи (расстояние от вышки до Уручья
по прямой 10 км.)?  Радиус Земли около 6380 км.

Решение: Применив
теорему Пифагора, получили уравнение

(х+6380)²=10²+6380²;

х²+12760х-100=0;

D=162817600+400=162818000;

≈12760,016;

х≈0,008км.

В  литературе

      Мало кто
знает, что Пифагор имел отношение не только к математике, но и к литературе. Он
и его теорема воспеты в литературе. О ней писали в своих произведениях римский
архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист  Плутарх, греческий
ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.

Так, например,
немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в
кругосветном путешествии на корабле «Рюрик», написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье.

За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать.

От страха, что
вселил в них Пифагор.

        Теоремой
Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей
истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины.

Так художник Ф.А.
Бронников (1827-1902) нарисовал картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу»

Картина передает
пафос преклонения учеников легендарной школы перед единой гармонией, царящей в
мироздании («космосе»), музыке и числе.

Практико-ориентированные
задачи:

    Мы попробовали
составить свои задачи, которые можно предложить на уроке при изучении теоремы
Пифагора, чтобы подчеркнуть её практическую значимость.

Задача 1 Пожарная
лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние нижнего конца
лестницы от стены равно 3,5 м. Хватит ли этой лестницы, чтобы пожарники могли
попасть в окно, находящееся на высоте 11,5 м от земли? 

Задача 2
Вертикальная мачта поддерживается четырьмя канатами. Прикрепленными к ней на
расстоянии 16 м от земли и к земле на расстоянии 12 м от основания мачты.
Сколько метров каната потребовалось монтажникам для укрепления мачты, если на
узлы пошло 5 м? 

 Задача 3 Для
монтажа крыши, строителям надо установить стропила на балке. Какой длины надо
взять стропила, чтобы длина балки составляла 8м, а стропила образовывали прямой
угол?

Задача 4  От
столба высотой 9 м к дому электрики натянули провод, который крепится на высоте
3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину
данного провода.

Задача 5*  
ПРОЕКТ   

  1. Определите
примерную длину лестницы, которая идёт к окну второго этажа дома, если
расстояние от этого этажа до земли 6 м, а расстояние от фундамента дома до
основания лестницы равно 3 м.

2. Подсчитайте,
сколько метров бруска пойдёт на изготовление такой лестницы, если у неё 18
ступенек и ширина лестницы равна 50 см.

3. Рассчитайте
стоимость изготовления такой лестницы, если цена 1 метра бруска составляет 6
рублей 40 коп.

Заключение

       В
результате проведённого исследования мы выяснили некоторые области применения
теоремы Пифагора. Нами собрано и обработано много материала из литературных
источников и интернета по данной теме. Мы изучили некоторые исторические
сведения о Пифагоре и его теореме, решили ряд исторических задач на применение
теоремы Пифагора.

Значение теоремы
Пифагора состоит в том, что с ее помощью можно вывести большинство теорем
геометрии и решить множество задач.  Благодаря такому количеству доказательств,
теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим
количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со
стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила
источником для множества обобщений и  идей.

Результатом нашей
работы является:  

1.      приобретение
навыка работы с литературными источниками;

2.      приобретение
навыка поиска нужного материала в Интернете;

3.      научились
работать с большим объёмом информации, отбирать нужную информацию;

4.     собранный
нами материал может быть полезен при изучении теоремы Пифагора в курсе
геометрии;

5.   мы
подтвердили гипотезу, что теорема Пифагора имеет широкое практическое
применение.

     Было
интересно почувствовать себя исследователем, но главное нас заинтересовал
процесс познания. Работа над проектом помогла нам реально применить полученные
на уроках знания, навыки, опыт в практической деятельности, в соответствии с
нашими интересами.

Скачано с www.znanio.ru

Теорема Пифагора

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Геометрия, раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур, их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются фигуры на плоскости; в стереометрии изучаются пространственные фигуры.

Постоянно сталкиваясь с геометрией не придаем этому большого значения. Она всегда рядом, она живет с нами. Оглянитесь вокруг – потолок, стены, мебель, бытовая техника отображают геометрические фигуры, созданные с учетом геометрических знаний. Выйдя на улицу, посмотрите по сторонам – стволы деревьев и стебли растений имеют цилиндрическую форму, кроны деревьев — форму конусов, овалов, треугольников, лепестки цветов — форму круга или овала. Любая профессия (хирург, строитель, водитель, учитель, повар) имеет связь с основами геометрии. Повсюду нас окружают геометрические элементы. Эта наука плотно вошла в нашу жизнь, и является её неотъемлемой частью.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.п.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных применений.

В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора не рассматривается.

В связи с этим, целью моей работы было выяснить области применения теоремы Пифагора.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы — это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

1. СТРУКТУРА РАБОТЫ

1. Цель:

выяснить сферы применения теоремы Пифагора.

2. Гипотеза:

с помощью теоремы Пифагора можно решать многие практические задачи.

3. Задачи:

Изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и о его теореме.

Собрать информацию о практическом применении теоремы Пифагора в различных источниках и определить области применения теоремы.

4. Объект и предмет исследования:

теорема Пифагора

использование теоремы в жизни

5. Актуальность:

показать, что теорема Пифагора широко применяется в жизни человека как в обычной действительности, так и во многих профессиях, тем самым продемонстрировать, что геометрия является неотъемлемой частью нашего мира

2. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЕКТА

1.Немного о Пифагоре

Пифагор Самосский (570 — 490 гг. до н.э.) — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев, политический деятель (Приложение 1).

Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом». Он родился на острове Самос, в семье резчика по драгоценным камням. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид Сиросский.

Пифагор — не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, имел много тайн (Приложение 2). Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре не осталось.

Пифагор основал свою школу в Кротоне (Южная Италия) , которая просуществовала до начала IV в. до н.э., хотя гонения на нее начались практически сразу после смерти Пифагора в 500 г. По сути, это была первая философская школа, религиозно-философское аристократическое братство.

Союз отличался строгими обычаями и высокой нравственностью. Образ жизни пифагорейцев вошел в историю: как рассказывают легенды, учеников школы всегда можно было узнать по их внешнему облику и благородному поведению. Пифагорейская школа положила начало математическим наукам. В ней начали развиваться астрономия и медицина. Звездчатый пятиугольник, или пентаграмма, — пифагорейский символ здравия и тайный опознавательный знак.

Пифагору приписывается изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы Пифагора и др. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым — Фалесом. По совету Фалеса Пифагор отправляется в Египет за знаниями. По его совету 22 года набирался мудрости в Египте. В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет его взяли в плен и продали в рабство. Более 10 лет он жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.

Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой знаний, Пифагор преодолел их все. Научившись всему, что дали ему жрецы, он двинулся на родину в Элладу. Пифагора не устраивала жизнь придворного полураба у правителя-тирана Поликрата, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. Вскоре Пифагор переселяется в Кротон, где и задумывает создать собственную философскую школу.

Только в 60 лет, уже известный учёный Пифагор, всё ещё полный сил, полюбил одну из своих учениц — умницу и красавицу Теано. Последовательница его учения, она стала ему преданной женой и родила семерых детей. Пифагор был очень счастлив в этом браке.

…Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей жизни, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математике и, прежде всего, в геометрии.

Гениальная догадка Пифагора состоит в том, что в геометрии можно выбрать конечное число истин ( аксиом ), из которых с помощью логических правил выводимо неограниченное число предложений. Так впервые возник аксиоматический метод построения науки.

Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались совершенными (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, каждое из которых равнялось сумме делителей другого (220 и 184). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа.

Геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Это ярко выражено в теореме, носящей его имя. По-видимому, уже тогда знали правильные тела: тетраэдр, куб, додекаэдр.

Пифагор считал Землю шаром, движущимися вокруг солнца. Когда в XVI церковь начала преследовать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским.

Музыка – точная наука. Пифагор внёс немалый вклад в развитие теории музыки. Он задумывался над законами, управляющими созвучием и диссонансом. Пифагор смастерил инструмент – балку со струнами, отягощёнными гирьками разного веса.

Он выяснил, что колеблющиеся струны дают приятное для слуха звучание, когда их длины соотносятся как 3:4:6 и на основе этого вывел гармоничные музыкальные интервалы. Были получены простейшие созвучия: октава, квинта, кварта. Это позволило разработать теорию гармонических интервалов.

2.2. История возникновения теоремы Пифагора

Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд.

Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого принёс в жертву 100 быков».

Оптимист Михайло Ломоносов писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила принёс на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

А ироничный Генрих Гейне видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием теоремы, принёс в жертву бессмертным богам».

Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой на критическом изучении греческих источников, Вандер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: 

«Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие мате­матики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

Геометрия, у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

 «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более пятисот, в том числе: геометрических, алгебраических, механических и др. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств.

Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

2.3 Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Формулировка теоремы

во времена Пифагора теорема звучала так:

«Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

или

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

современная формулировка:

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Существует более 500 доказательств теоремы Пифагора. Она даже занесена в книгу рекордов Гиннеса! Простейшее доказательство теоремы есть у древнегреческого математика Евклида. Ученые считают, что это доказательство теоремы Евклид придумал сам. В древности, теорему Пифагора знали лишь отдельные ученые, посвященные в таинства математики, теперь ее учат все.

Способы доказательств:

школьное доказательство

простейшее доказательство,

доказательство Евклида,

доказательство Эпштейна

доказательство Перигаля,

доказательство Нильсена,

доказательство Бетхера,

доказательство методом дополнения,

алгебраическое доказательство,

оригинальное доказательство, предложенное Гофманом,

доказательство индийским математиком Бхаскари-Ачарна,

«стул невесты», и др.

Рассмотрим некоторые из них.

Школьное доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого a и b — катеты, с — гипотенуза.

Докажем, что с² = а² + b².

Доказательство:

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + bтак, как показано на рисунке.

Площадь S этого квадрата равна (а + b)².

C другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников,

площадь каждого из которых равна 2ab, и квадрата со стороной c, поэтому

S = 4(1/2а²+с²) = 2ab + с².

Таким образом, (а + b)² = 2ab + с², откуда c² = а² + b².

Простейшее доказательство.

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, — по два. Теорема доказана.

Доказательство Евклида.

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Ч ертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.

Доказательство Эпштейна.

 Начнем с доказательства Эпштейна; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.

П роведем прямую EF, на которой лежат диагонали двух квадратов, построенных на катетах треугольника и проведем прямую CD перпендикулярно EF через вершину прямого угла треугольника.

Из точек А и В Продлим стороны квадрата, построенного на гипотенузе треугольника, до пересечения с EF.

Соединим полученные на прямой EF точки с противолежащими вершинами квадрата и получим попарно равные треугольники.

Заметим, прямая CD делит больший квадрат на две равные прямоугольные трапеции, которые можно разбить на треугольники, составляющие квадраты на катетах. И получим квадрат со стороной, равной гипотенузе треугольника. Теорема доказана.

Доказательство Перигаля.

В учебниках нередко встречается разложение, указанное на рисунке (так называемое «колесо с лопастями»; это доказательство нашел Перигаль). Через центр квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельные и перпендикулярные гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Доказательство Нильсена.

Н  а рисунке вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена.

1. Продлим сторону АВ квадрата, построенного на гипотенузе треугольника.

2. Построим прямую EF, параллельную ВС.

3. Построим прямую FH, араллельную АВ.. Построим прямую из точки D, параллельную СН.

5. Построим прямую из точки А, параллельную СG

6. Проведем отрезок MN, параллельный СН

7. Так как все фигуры, полученные в большем треугольнике равны фигурам в квадратах, построенных на катетах, значит площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.

Доказательство Бетхера.

Проведем прямую, на которой лежат диагонали квадратов, построенных на катетах треугольника и опустим из вершин квадратов параллельные отрезки на эту прямую.

Переставим большие и маленькие части квадратов, расположенные над осью.

Разобьем полученную фигуру как указанно на рисунке и расположим их так, чтобы получился квадрат, сторона которого равна гипотенузе треугольника.

Теорема доказана.

Доказательство методом дополнения.

От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе.

Н а рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1.

Прямая DG обязательно пройдет через C.

Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат ,построенный на гипотенузе.

Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики.

Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB.

Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

Теорема доказана.

Алгебраическое доказательство.

Рис. 12 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати,  XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.

Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, принадлежащих Пифагору.

Н а рис. 13 ABC – прямоугольный, C – прямой угол, CM^AB, b₁ – проекция катета b на гипотенузу, a₁ – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Из того, что DABC подобен DACM следует

b² = cb₁; (1)

из того, что DABC подобен DBCM следует

a² = ca₁. (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a² + b² = cb₁ + ca₁ = c(b₁ + a₁) = c².

Оригинальное доказательство, предложенное Гофманом.

З десь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим

Старейшее доказательство (содержится в одном из произведений Бхаскары).

Пу сть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ = b);

Пусть СК ВЕ = а, DL CK, AM DL 

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

 .

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

«Стул невесты»

В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания»), крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары, помещён чертёж с характерным для индийских доказательств словом «Смотри!» Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат площадью с² перекладывается в «кресло невесты» с площадью а²+в²

2.4 Исторические задачи

Предлагаем несколько исторических задач, найденных в древних источниках.

Задача Бхаскари

«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

Решение: По теореме Пифагора АВ²= ВС²+АС² ;9+16=25, АВ=5 Футов; СD=3+5=8 футов.

Ответ: высота тополя 8 футов.

Задача из китайской «Математики в девяти к нигах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды, и какова длина камыша?». Решение: По теореме Пифагора (x+1)²=x²+25; 2x=24, x=12 чи.; 12+1=13 чи.

Ответ: глубина воды-12 чи, длина камыша-13 чи.

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

 « Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать». Решение: ВС²=АВ²-АС²; ВС²=15625-13689=44 стоп.

Ответ: ВС=44 стоп.

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-г у»

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).Какова высота бамбука после сгибания? Решение: (10-x)²=x²-9; -20x=9-100, -20x=-109, x=109/20 чи. Ответ: x= 4,55 чи.

5.1 Теорема Пифагора в…

Очень легко можно воспроизвести способ построения

«натягивателями веревок» прямых углов при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным

между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

2.5.1 Окно

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке, если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)²=( b/4)²+( b/2-p)²; или b²/16+ bp/2+p²=b²/16+b²/4-bp+p²; откуда bp/2=b²/4-bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6.

2.5.2 Строительство крыши

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.      Решение:     Треугольник ADC — равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда из треугольника DBC: DB=2,5 м., из треугольника АВF:  АF=√4²+4²=√32≈5,7 м.

Взяв за основу эту задачу, мы решили исследовать двускатную крышу детского сада «Цыплёнок» и проверить, выполняется ли для неё теорема Пифагора. Проведя измерения крыши, получили следующие результаты: длина балки -12,2 м., высота – 3 м., длина стропила – 6,8м. Двускатная крыша в сечении – равнобедренный треугольник, тогда длину стропила вычисляем по теореме Пифагора: √6,1²+3² ≈6,8м. Учитывая погрешность измерения, приходим к выводу, что строители крыши при строительстве крыши пользовались известной теоремой.

Мы знаем теперь, что для строительства крыши дома обязательно надо применить теорему Пифагора. При проектировании любых строительных объектов возникает необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по известным сторонам. Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни.

2.5.3 Установка ёлки

Например, перед новым годом в городе Володарске на небольшой площади перед ДК Юбилейным устанавливается ёлка высотой 5 м. Её всегда устанавливают на прямоугольную призму, сделанную из снега. Ёлка стоит неустойчиво (это проблема) и под воздействием природных явлений (чаще сильного ветра) накреняется и может упасть. Мы предлагаем устанавливать её другим способом. Установить ёлку без снежной призмы высотой 8м. и закрепить её в вертикальном положении. Для этого от вершины ёлки надо сделать проволочные натяжки АВ, АМ, АК одинаковой длины и закрепить на земле на расстоянии 6м от основания елки. Длина натягивающей проволоки должна 10м., т.к. по теореме Пифагора АВ²= АС²+ВС²; АВ= =10 м.

А если все-таки высота ёлки 5м., то длину можно рассчитать приближенно. Пусть натягивающую проволоку закрепим на расстоянии 3 м. от основания ёлки, тогда её длина будет равна = ≈5,8 м.

2.5.4 Молниеотвод

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты.

Определим оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: по теореме Пифагора h2 ≥ a2+b2, значит h ≥ √(a2+b2). Ответ: h ≥√ (a2+b2).

Гроза и ее непременный атрибут молния – атмосферное явление, таящее в себе достаточно большую опасность. Достаточно сказать, что в год в мире от удара молнии гибнет более 3000 человек (что гораздо больше числа погибших в авиакатастрофах), а материальный ущерб исчисляется миллиардами долларов (в нашей стране — сотнями миллионов рублей).

Мы считаем, что возведение молниеотводов очень актуально для нашего села, т.к. природные катаклизмы не обходят стороной и нас. Так в 2009 году в Новосибирской области в здание детского сада, во время сильной грозы, «зашла» молния. Она «зашла» и «вышла» через крышу, повредив электроснабжение. Весь шифер с одной стороны был полностью снесён. К счастью никто не пострадал. На крыше садика молниеотвода не было. Мы считаем, что он обязательно должен быть на здании, где находятся дети. Поэтому предлагаем на крыше детского садика восстанавливать стержневой молниеотвод.

Если размеры крыши садика 44м. и 12,2м., то по предыдущей задаче высота молниеотвода должна быть h≥√6,12+222, h≥22,8м.

Так как молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты, то высота молниеотвода должна быть не меньше 11,4 м. По расчетам видно, что высота молниеотвода очень высокая. Можно установить два стержневых молниеотвода, мы думаем, это будет экономически выгоднее. Их высоты должны быть не менее 6,3 м., а если учесть ещё и высоту крыши 3 м., то высоты молниеотводов должны быть не менее 3,3 м.

2.5.5 В мобильной связи

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км.?) Мы на основе задачи, найденной в Интернете, решили решить задачу: какую наименьшую высоту должна иметь вышка мобильной связи, поставленной в селе Мячково, чтобы посёлок Ильино попал в зону связи (расстояние от вышки до Ильино по прямой 10 км.)? Решение: Применив теорему Пифагора, получили уравнение

(х+6380)²=10²+6380²; х²+12760х-100=0;

D=162817600+400=162818000;

≈12760,016;

х≈0,008км.

Вышка мобильной связи

Задача: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км.?)

Решение:

Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим (6380+х)²=6380²+200²

6380²+12760х+х²-6380²-40000=0; х²+12760х-40000=0

D=162817600+160000=162977600; √162977600≈12766; х≈(-12760+12766)/2≈3км.
Ответ: 3км.

2.5.6 В литературе

Мало кто знает, что Пифагор имел отношение не только к математике, но и к литературе. Он и его теорема воспеты в литературе. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.

Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Некоторые из них мы приведём в своей исследовательской работе Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов.

Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик», написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье.

За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать.

От страха, что вселил в них Пифагор.

Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон». Этой теореме даже посвящены стихи.

О теореме Пифагора

Суть истины вся в том, что нам она — навечно.

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной.

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед,

С тех пор быки, когда учуяв, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? — Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной метод, который я использовала в своей работе, — это метод систематизации и обработки данных.

Используя литературу, информационные технологии, я хотела разнообразить материал различными иллюстрациями, привлечь внимание людей различных возрастов и профессий, рассказать своим одноклассникам о Пифагоре и о его очень интересной и важной теореме.

В первой главе моего исследовательского проекта была отражена его структура.

Во второй главе мы рассмотрели

его биографию,

как была создана теорема,

различные способы её доказательства,

исторические задачи в которых она применялась,

так же мы увидели актуальность теоремы Пифагора в современном мире. Её применение в практических задачах. Таким образом, гипотеза полностью доказана.

Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 — 1630) до Альберта Эйнштейна (1879 — 1955).

Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение №1

Пифагор

Приложение №2

Великие тайны Пифагора

Первая тайна заключается в таком множестве названий: «теорема бабочки», «т. невесты», «т. нимфы», « т. 100 быков», «бегство убогих», «мост ослов», «ветряная мельница». Думаю, что не найти другой теоремы, которая имела бы столько всевозможных названий!

Вторая тайна – точно неустановленное количество доказательств знаменитой теоремы Пифагора Самосского. Именно по этому поводу я решила провести социологический опрос, который показал, что большинство людей старшего поколения согласны с существованием 250 доказательств, хотя мне из дополнительных источников известно, что существует более 350 доказательств этой теоремы, поэтому она даже попала в Книгу рекордов Гиннеса! Но, конечно же, принципиально различных идей в этих доказательствах используется сравнительно немного.

Третья тайна – это то, что теорема Пифагора является сегодня символом математики.

Четвёртая тайна – теорема Пифагора представляет нам богатейший материал для обобщения – важнейшего вида мыслительной деятельности, основы теоретического мышления, которым в совершенстве владеют многие учёные. Здесь можно добавить, что от теоремы Пифагора можно перейти к другим теоремам.

Пятая тайна заключается в том, что некоторые исследователи приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводил в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл (математик V в.) утверждал, что доказательство в «Началах» принадлежало самому Евклиду. Но всё-таки сегодня способ доказательства Пифагора остаётся неизвестным

Шестая тайна – легенды о самом Пифагоре, человеке, который первым доказал эту теорему. Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Также о гипнотических способностях учёного ходили легенды: будто он одним своим взглядом мог менять направление полёта птиц. А ещё рассказывали, что этого удивительного человека одновременно видели в разных городах, между которыми было несколько дней пути. И что ему якобы принадлежало «колесо фортуны», вращая которое, он не только предсказывал будущее, но и вмешивался, если это было необходимо, в ход событий.

5. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

https://vpr—klass.com/uchebniki/matematika/atanasyan_7-9kl.html

https://100urokov.ru/predmety/chto-takoe-geometriya

https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагор

https://vuzlit.com/885468/aktualnost_tseli_zadachi

https://studfile.net/preview/7327497/page:4/

Просмотров работы: 70