Аксиомы теоремы следствия примеры

Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи
или выводим новые доказательства.

Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь.
Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:

«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».

Чтобы лучше понять сказанное, нарисуем наглядный рисунок, где прямая a пересекает точки
A и B.

Казалось бы, очевидно, если попытаться провести еще одну прямую b через точки
A и B, она совпадет с прямой a.

Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?

Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только
потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.

В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь
утверждение с помощью рассуждений».

Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то
очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.

Нам остается, только принять их на веру без доказательств.
Иначе мы не сможем доказывать следующие утверждения, чтобы двигаться дальше.

Что такое аксиома

Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.

С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку.
Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.

Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом.
В школьном курсе используются далеко не все.
Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас.
Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:

• через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
• через точку, не лежащую на данной прямой, проходим только одна прямая, параллельная данной;
• если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки;
• любая фигура равна самой себе.

Что такое теорема

Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит
от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.

Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно,
как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.

Примеры формулировок теорем:

• сумма углов треугольника равна 180 градусов;
• площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон;
• теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения.
Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.

Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят
никаких словесных изменений.

Что такое лемма

Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач.
Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.

Пример леммы:

• если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Что такое следствие в геометрии

Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

• если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
• если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

---

Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:

• аксиомы — фундамент дома;
• теоремы — основные кирпичи дома;
• леммы и следствия — вспомогательные кирпичи для упрочнения конструкции.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы.
Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.

Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Что является следствием в геометрии?

следствие это результат, который очень часто используется в геометрии для обозначения немедленного результата чего-то уже продемонстрированного. Обычно в геометрии следствия появляются после доказательства теоремы.

Поскольку это прямой результат уже доказанной теоремы или уже известного определения, следствия не требуют доказательств. Эти результаты очень легко проверить, и поэтому их демонстрация опущена.

Следствие слова происходит от латинского Corollarium, и широко используется в математике, имея большее проявление в области логики и геометрии.

Когда автор использует следствие, он говорит, что этот результат может быть обнаружен или получен читателем самостоятельно, используя в качестве инструмента некоторую теорему или определение, объясненное ранее..

Примеры следствий

Ниже приведены две теоремы (которые не будут доказаны), за которыми следуют одно или несколько следствий, которые выводятся из указанной теоремы. Кроме того, прилагается краткое объяснение того, как показано следствие..

Теорема 1

Следствие 1.1

Гипотенуза прямоугольного треугольника имеет большую длину, чем любая из ног.

объяснение: имея это c² = a² + b², можно вывести, что c²> a² и c²> b², из чего делается вывод, что «c» всегда будет больше, чем «a» и «b».

Теорема 2

Сумма внутренних углов треугольника равна 180º.

Следствие 2.1

В прямоугольном треугольнике сумма углов, прилегающих к гипотенузе, равна 90º.

объяснение: в прямоугольном треугольнике есть прямой угол, то есть его мера равна 90º. Используя теорему 2, у вас есть 90º, плюс измерения двух других углов, прилегающих к гипотенузе, равны 180º. При очистке будет получено, что сумма мер соседних углов равна 90º.

Следствие 2.2

В прямоугольном треугольнике острые углы, прилегающие к гипотенузе.

объяснение: используя следствие 2.1, мы получаем, что сумма мер углов, прилегающих к гипотенузе, равна 90º, следовательно, мера обоих углов должна быть меньше 90º, и, следовательно, указанные углы являются острыми.

Следствие 2.3

Треугольник не может иметь два прямых угла.

объяснение: если треугольник имеет два прямых угла, то добавление мер трех углов приведет к числу больше 180º, а это невозможно из-за теоремы 2.

Следствие 2.4

Треугольник не может иметь более одного тупого угла.

объяснение: если треугольник имеет два тупых угла, при сложении его измерений будет получен результат, превышающий 180º, что противоречит теореме 2.

Следствие 2.5

В равностороннем треугольнике мера каждого угла составляет 60º.

объяснение: равносторонний треугольник также равновеликий, поэтому, если «х» является мерой каждого угла, то добавление меры трех углов даст 3x = 180º, из чего делается вывод, что x = 60º.

Источник

Что такое следствие в геометрии?

Содержание:

А следствие это результат, широко используемый в геометрии для обозначения немедленного результата чего-то уже доказанного. Следствия обычно появляются в геометрии после доказательства теоремы.

Поскольку они являются прямым результатом доказанной теоремы или известного определения, следствия не требуют доказательства. Эти результаты очень легко проверить, поэтому их доказательство опускается.

Слово следствие происходит от латинского венчик, и обычно используется в математике, особенно в областях логики и геометрии.

Когда автор использует следствие, он говорит, что этот результат может быть обнаружен или выведен самим читателем, используя в качестве инструмента некоторую ранее объясненную теорему или определение.

Примеры следствий

Ниже приведены две теоремы (которые не будут доказаны), за каждой из которых следует одно или несколько следствий, выведенных из указанной теоремы. Кроме того, прилагается краткое объяснение того, как демонстрируется следствие.

— Теорема 1

Следствие 1.1.

Гипотенуза прямоугольного треугольника длиннее любого катета.

Пояснение: Поскольку c² = a² + b², можно вывести, что c²> a² и c²> b², из чего делается вывод, что «c» всегда будет больше, чем «a» и «b».

— Теорема 2

Сумма внутренних углов треугольника равна 180º.

Следствие 2.1.

В прямоугольном треугольнике сумма углов, примыкающих к гипотенузе, равна 90 °.

Следствие 2.2.

В прямоугольном треугольнике углы, прилегающие к гипотенузе, острые.

Пояснение:Используя следствие 2.1, мы получаем, что сумма углов, примыкающих к гипотенузе, равна 90 °, следовательно, размер обоих углов должен быть меньше 90 °, и поэтому указанные углы являются острыми.

Следствие 2.3.

У треугольника не может быть двух прямых углов.

Пояснение:Если треугольник имеет два прямых угла, то сложение трех углов даст число больше 180 °, а это невозможно благодаря теореме 2.

Следствие 2.4.

У треугольника не может быть более одного тупого угла.

Пояснение: Если треугольник имеет два тупых угла, сложение их мер даст результат больше 180 °, что противоречит теореме 2.

Следствие 2.5.

В равностороннем треугольнике каждый угол составляет 60º.

Пояснение: Равносторонний треугольник также является равноугольным, поэтому, если «x» является мерой каждого угла, то добавление меры трех углов даст 3x = 180º, из чего делается вывод, что x = 60º.

Ссылки

Синтром: что это такое, показания и побочные эффекты

Клеточное питание: процесс и питательные вещества

Источник

Что такое аксиома и теорема

Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.

Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».

Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?

Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.

В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».

Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.

Что такое аксиома

Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.

С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.

Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:

Что такое теорема

Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.

Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.

Примеры формулировок теорем:

Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.

Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.

Что такое лемма

Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.

Что такое следствие в геометрии

Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.

Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.

Источник

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник

Смежные углы. Теоремы. Следствия

Содержание

Смежные углы

Смежными углами называются углы, которые имеют общую вершину и одну сторону, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми

Сколько может быть смежных углов?

Смежных углов может быть не только два. Теоретически, их количество может быть бесконечно большим, потому что из точки на прямой можно провести неограниченное количество лучей, лежащих в одной полуплоскости.

Теорема о смежных углах

Утверждение о том, что сумма смежных углов равна $180 degree$ называется теоремой о смежных углах. Ее доказательство просто и базируется на знании того, что любой луч, проведенный из вершины угла, и проходящий по его внутренней области, делит этот угол на два угла, сумма которых равна первому углу.

Доказательство теоремы о смежных углах

Очевидно, что аналогично теорема может быть доказана для любого количества смежных углов.

Следствие из теоремы о смежных углаx

Теорема о смежных углах имеет следствие.

Следствием теоремы называется логический вывод, следующий из теоремы, и не требующий отдельного доказательства.

Следствие из теоремы о смежных углаx: если некоторые два угла равны, то равны и смежные с ними углы.

Задача 1

Короткая запись условия:

Решение и чертеж:

Источник

• Аксиома – это утверждение, содержащееся в формулировках основных свойств простейших фигур, которое не доказывается.
• Другими словами, аксиомы – это основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных.
• Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений».

Основными аксиомами геометрии Евклида являются утверждения о том, что:

• Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
• На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
• От любого луча в заданную сторону можно отложить угол равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
• Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

• Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.
• Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
• Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Аксиомы о взаимном расположении точек и прямых

• Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

В данной аксиоме подразумевается, что точки не совпадают.

Например, рассмотрим три различные точки прямой А, В и С. Точка В лежит между точками А и С. Также можно сказать:

• точки А и В лежат по одну сторону от точки С
• точки В и С лежат по одну сторону от точки А
• точки А и С лежат по разные стороны от точки В

Аксиома о расположении трех точек на прямой

• Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.

При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.

Аксиома о точке, которая делит прямую на части

• Каждая прямая a разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой a, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой a.

При этом прямую a называют границей каждой из указанных полуплоскостей, и ее точки не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей

Аксиома о прямой и плоскости

• Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой:

• Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами:

Аксиомы об измерении отрезков и углов

• На любой полупрямой (луче) от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и при том только один.
• От любой полупрямой (от любого луча) в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной мерой, меньшей 180°, и при том только один.

Аксиомы геометрии об откладывании отрезков и углов

• Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Точка С не лежит на прямой a, и через точку С проходит единственная прямая b, которая параллельна прямой a

Аксиома параллельных прямых

• Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

Совмещенные отрезки АВ и А1В1

Аксиомы о наложении и равенстве фигур

• На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Это означает, что если даны луч d с началом в точке О и отрезок AB, то на луче существует единственная точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС.

Аксиомы о наложении и равенстве фигур

• От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Это означает, что если даны луч ОК и неразвернутый угол BАС, то в каждой из двух полуплоскостей с границей ОК существует единственный луч ОТ, такой, что угол ВАС равен углу КОТ.

1. ∠КОТ = ∠ВАС
2. Аксиомы о наложении и равенстве фигур

• Любой угол ab можно совместить наложением с равным ему углом a1b1 двумя способами:

Так, что луч a совместиться с лучом a1, а луч b – с лучом b1

Так, что луч a совместиться с лучом b1, а луч b – с лучом a1

• Углы до наложения
• 1 способ наложения равных углов
• 2 способ наложения равных углов
• Аксиомы о наложении и равенстве фигур

• Любая фигура равна самой себе.
• Если фигура F равна фигуре F1, то фигура F1 равна фигуре F.
• Если фигура F равна фигуре F1, а фигура F1 равна фигуре F2, то фигура F равна фигуре F2.

Аксиомы о наложении и равенстве фигур

Источник: https://mathvox.ru/geometria/osnovnie-ponyatiya-i-figuri-geometrii/glava-1-osnovnie-geometricheskie-figuri/aksiomi-geometrii/

Основные аксиомы планиметрии. Виды углов

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

1. Основные понятия планиметрии

Почему все в картинках и без слов? А нужны ли слова? Мне кажется, на первых порах не очень нужны. Вообще-то, математики, конечно, умеют все описывать словами, и такие описания ты можешь найти в следующих уровнях теории, а сейчас продолжим картинками.

Что же еще? Ах да, нам же нужно научиться измерять отрезки и углы.

У каждого отрезка есть длина – число, которое этому отрезку (зачем-то …) поставили в соответствие. Длину принято измерять … линейкой, конечно, в сантиметрах, миллиметрах, метрах и даже в километрах.

А теперь измерениеуглов. Углы почему-то принято измерять в градусах. Почему? На это есть исторические причины, но мы сейчас занимаемся не историей. Поэтому придется принять просто как должное следующее соглашение.

В развернутом угле   градусов.

Для краткости пишут:  . При этом, конечно же, величину всех остальных углов можно найти, если выяснить, какую часть от развернутого угла составляет данный угол. Инструмент для измерения углов называется транспортир. Думаю, ты его уже не раз в жизни видел.

2. Два основных факта об углах

 I. Смежные углы в сумме составляют  .

Это совсем естественно, не правда ли? Ведь смежные углы вместе составляют развернутый угол!

II. Вертикальные углы равны.

Почему? А смотри:

и   – смежные  .  и   – тоже смежные

Что теперь? Ну, конечно, отсюда следует, что  . (Достаточно, например, вычесть из первого равенства второе. А вообще-то, можно просто посмотреть на картинку).

3. Прямой угол

Если угол равен смежному с ним, то он называется прямым углом.

Чему равна величина прямого угла?

Ну конечно,  ! Ведь  .

4. Острый и тупой угол

Углы, меньшие  , называются острыми углами.

Углы от   до   называются тупыми углами.

Еще раз: угол в  — прямойугол.

Вот, в общем-то и все, что тебе нужно знать для начала. Почему же мы ни слова не сказали об аксиомах?

Аксиомы – это правила действия с основными объектами планиметрии, самые первые утверждения о точках и прямых. Эти утверждения берутся за основу, не доказываются.

Почему же все-таки мы их не формулируем и не обсуждаем? Понимаешь, аксиомы планиметрии в некотором смысле просто описывают ясные интуитивно соотношения довольно длинным математическим языком.

Четкое осознание аксиоматики необходимо чуть позже, когда ты привыкнешь к геометрическим понятиям на уровне здравого смысла. Тогда – добро пожаловать в следующие уровни теории по этой теме – там есть довольно подробное обсуждение аксиом.

А пока попробуй поступать как совсем древние греки, до времен Евклида – просто решай задачи, пользуясь здравым смыслом. Уверяю тебя, множество задач тебе поддадутся!

Средний уровень

Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.

Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача – приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится? Конечно же, правила, инструкции – что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций – никуда!

Хорошо, но к чему такое вступление? Причем тут геометрия? Понимаешь, великое множество утверждений о всяких фигурах в геометрии и есть то самое множество «блюд», которые мы должны научиться готовить. Но из чего? Из основных объектов геометрии! А вот инструкция по их «употреблению» называется умными словами «система аксиом».

Так что, внимание!

Основные объекты и аксиомы планиметрии

Точка и прямая

Это и есть самые главные понятия планиметрии. Математики говорят, что это «неопределяемые понятия». Как так? А вот так, нужно же с чего-то начинать.

Теперь первые правила обращения с точками и прямыми. Эти правила математики называют «аксиомы» — утверждения, которые принимаются за основу , из которых потом все основное будет выводиться (помнишь, что у нас большая кулинарная миссия по «приготовлению» геометрии?). Так вот, первая серия аксиом называется

I. Аксиомы принадлежности

Аксиома 1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

• Обрати внимание, эта аксиома позволяет рисовать так:
• и так:

Аксиома 1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

1. Вот так: было две точки:
2. И тут же нашлась прямая:
3. А другой – нет!
4. Если тебе все это кажется слишком очевидным, то вспомни, что ты – на другой планете и до сих пор совершенно не знал, что делать с объектами «точка» и «прямая».

Луч, отрезок, угол

Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие «блюда» — луч, отрезок, угол.

1) ЛУЧ

Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется еще лучом.

• Вот он, луч:

2) ОТРЕЗОК

Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.

3) УГОЛ

Углом называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла а их общее начало – вершиной угла.

Угол, образованный дополнительными лучами, называется развернутым.

Источник: https://youclever.org/book/osnovnye-ponyatiya-i-aksiomy-planimetrii-2

Некоторые следствия из аксиом стереометрии

Материал урока.

На прошлом уроке мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии. Давайте еще раз повторим их.

• Первая аксиома звучит так: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
• Вторая аксиома звучит так: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
• Третья аксиома звучит так: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Сегодня на уроке мы сформулируем и докажем некоторые следствия из этих аксиом. По аналогии с аксиомами следствия мы будем обозначать заглавной буквой С с нижним индексом.

Итак, первое следствие звучит так: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Докажем это. Рассмотрим прямую a и не лежащую на ней точку B. Нам необходимо доказать, что через прямую a и точку B проходит плоскость. Отметим на прямой a две точки C и D.

Точки B, C, D не лежат на одной прямой, поэтому согласно первой аксиоме, (а именно, тому что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна) через эти точки проходит некоторая плоскость α.

Поскольку точки C и D прямой a лежат в плоскости, то по второй аксиоме (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости) вся прямая a лежит в плоскости α.

Теперь давайте докажем единственность этой плоскости. Любая плоскость, которая проходит через прямую a и точку B проходит через точки B, C, D. То есть она совпадает с плоскостью α, поскольку по первой аксиоме, плоскость, которая проходит через три точки, не лежащие на одной прямой – единственная.

1. Теперь давайте сформулируем и докажем второе следствие.
2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
3. Доказательство.

Рассмотрим прямые a и b, которые пересекаются в точке А. Тогда нам необходимо доказать, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Отметим на прямой b точку B, не совпадающую с точкой А. Тогда из первого следствия, через прямую a и точку B можно провести плоскость α.

Так как точки А и B прямой b лежат в плоскости α, то по второй аксиоме мы получим, что вся прямая b лежит в плоскости α.

Поскольку через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость, то значит, любая плоскость, проходящая через прямые a и b совпадает с плоскостью α.

Таким образом, наша теорема доказана.

Решим несколько задач.

Задача. Две прямые пересекаются в точке . Доказать, что все прямые, которые пересекают данные прямые и не проходят через точку , лежат в одной плоскости.

Доказательство.

По второму следствию из аксиом стереометрии через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Значит, через данные прямые проведем плоскость альфа.

Проведем прямую, которая будет пересекать прямые, но не проходит через точку B. Эта прямая с каждой из данных прямых имеет по одной общей точке. Эти точки принадлежат построенной плоскости, поскольку прямые принадлежат этой плоскости.

Получаем, что две точки прямой принадлежат плоскости, значит, по второй аксиоме, вся прямая лежит в этой же плоскости.

Поскольку прямую мы проводили произвольно, то, очевидно, что каждая из прямых, которые будут пересекать исходные прямые будет лежать в этой же плоскости, что и требовалось доказать.

Задача. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Решение.

Первое утверждение неверно, так как окружность и плоскость имеют две общие точки, если они пересекаются. То есть окружность не лежит в плоскости, а только пересекает ее.

Перейдем ко второму утверждению. По первой аксиоме через три точки, не лежащих на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну.

Точки окружности не могут лежать на одной прямой, поэтому проведем через них плоскость.

Очевидно, что эти точки лежат в плоскости окружности, но поскольку аксиома говорит о том, что такая плоскость единственная, значит, окружность будет принадлежать этой плоскости. То есть второе утверждение верно.

Задача. Пусть точки  не лежат на одной прямой. Отметим на прямой  точку , а на прямой  – точку . Доказать, что точка  прямой  лежит в плоскости .

Решение.

По первой аксиоме через точки А, B, C проведем плоскость α. Так как прямая АB лежит в плоскости α, значит, точка D лежит в плоскости α.

Аналогично, поскольку прямая АC лежит в плоскости α, то и точка Е лежит в плоскости α. Получаем, что две точки прямой DE лежат в плоскости α. Применим вторую аксиому и получим, что вся прямая DE лежит в плоскости α.

Тогда точка F прямой DE тоже лежит в плоскости α. Что и требовалось доказать.

Задача. Пусть стороны  и  треугольника  лежат в плоскости . Доказать, что и медиана  лежит в плоскости .

Доказательство.

Поскольку стороны AB и АC лежат в плоскости α, значит, точки B и C лежат в этой плоскости, то есть, по второй аксиоме, сторона BC тоже лежит в этой плоскости. Точка M лежит на прямой BC, значит, она лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.

Подведем итоги урока. Итак, сегодня на уроке мы повторили аксиомы стереометрии, сформулировали и доказали некоторые следствия из аксиом и рассмотрели задачи, на использование аксиом и следствий из них.

Источник: https://videouroki.net/video/3-niekotoryie-sliedstviia-iz-aksiom-stierieomietrii.html

Что такое аксиома и теорема

Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.

Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией: «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».

Чтобы лучше понять сказанное, нарисуем наглядный рисунок, где прямая a пересекает точки A и B.

Казалось бы, очевидно, если попытаться провести еще одну прямую b через точки A и B, она совпадет с прямой a.

Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?

Важно!

Дело в том, что утверждение, которое в своем доказательстве не опирается на выстроенную логическую цепочку доказательств, нельзя считать доказанным.

Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.

В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».

Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.

Нам остается, только принять их на веру без доказательств. Иначе мы не сможем доказывать следующие утверждения, чтобы двигаться дальше.

Что такое аксиома

Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.

Запомните!

Аксиома — утверждение, которое не требует доказательств.

С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.

Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:

• через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
• через точку, не лежащую на данной прямой, проходим только одна прямая, параллельная данной;
• если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки;
• любая фигура равна самой себе.

Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.

Запомните!

Теорема — утверждение, которое требует доказательства.

Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.

Примеры формулировок теорем:

• сумма углов треугольника равна 180 градусов;
• площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон;
• теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Важно!

Формулировки аксиом и теорем необходимо учить строго наизустьбез искажений.

Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.

Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.

Что такое лемма

Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.

Запомните!

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы.

Пример леммы:

• если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Что такое следствие в геометрии

Запомните!

Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

• если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
• если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:

• аксиомы — фундамент дома;
• теоремы — основные кирпичи дома;
• леммы и следствия — вспомогательные кирпичи для упрочнения конструкции.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.

Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/basic_terms_of_geometry/what_is_axiom_theorem_lemma_and_consequence_in_geometry.php

Аксиомы геометрии

Аксиома —исходное положение о свойствах геометрических фигур, которое принимается без доказательстваи на основе которого далее доказываются теоремы и вообще строится вся геометрия. Все аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.

Геометрия, в которой сначала формулируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе путем логических рассуждений доказываются другие утверждения, называется евклидовой геометрией.

К аксиомам относятся следующие утверждения:

Аксиомы о взаимном расположении точек и прямой

1. Каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки.
2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
5. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.
6. Каждая прямая разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой , а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой .

Аксиомы о наложении и равенстве фигур

1. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному и притом только один.
3. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
4. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h1, а луч k — с лучом k1; 2) так, что луч h совместится с лучом k1, а луч k — с лучом h1.
5. Любая фигура равна самой себе.
6. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф.
7. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.

Аксиомы об измерении отрезков

1. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
2. При выбранной единице измерения отрезков  для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Аксиома параллельности

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

• Параллельные прямые
• Признаки параллельности двух прямых
• Практические способы построения параллельных прямых
• Аксиома параллельных прямых
• Теорема о накрест лежащих углах
• Теорема о соответственных углах
• Теорема об односторонних углах
• Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами
• Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами
• Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

1. 7 класс
2. Задание 7, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
3. Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

• © budu5.com, 2020
• Пользовательское соглашение
• Copyright
• Нашли ошибку?
• Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3399

презентация к уроку «Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом» презентация к уроку по геометрии (10 класс) по теме

• Слайд 1
• Слайд 2
• Геометрия Планиметрия Стереометрия Stereos : телесный, твердый, объемный, пространственный
• Слайд 3

Аксиомы стереометрии Некоторые следствия из аксиом

Стереометрия Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая. Плоскость.

1. Слайд 4
2. Обозначения: точка прямая плоскость A, B, C, … a, b, c, … или A В , B С , CD, …
3. Слайд 5
4. Геометрические тела: Куб Параллелепипед Тетраэдр
5. Слайд 6
6. Геометрические понятия . Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро
7. Слайд 7
8. Аксиома ( от греч. ax íõ ma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства
9. Слайд 8

Характеризуют взаимное расположение точек и прямых 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Основное понятие геометрии «лежать между» 4.

Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна А2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А3.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей .

• Слайд 9
• А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей
• Слайд 10
• Аксиомы стереометрии описывают: А1 Способ задания плоскости А2 Взаимное расположение прямой и плоскости А3 Взаимное расположение плоскостей
• Слайд 11

Следствия из аксиом стереометрии Следствие Чертеж Формулировка № 1 № 2 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Слайд 12

Способы задания плоскости g 1. Плоскость можно провести через три точки. g 2. Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку. Аксиома 1 Теорема 1 g Теорема 2 3. Можно провести через две пересекающиеся прямые. А 1

Слайд 13

Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая не пересекает плоскость. Сколько общих точек в каждом случае? g а g а М g а а Ì g а Ç g = М а Ë g А 2 Прямая пересекает плоскость .

1. Слайд 14
2. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB , в плоскости АВС; б) плоскость, в которой лежит прямая MN , прямая КМ; в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB . К А В М S N C
3. Слайд 15
4. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC ; плоскости FDE и SAC ; в) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC . А С В S D F E
5. Слайд 16
6. Пользуясь данным рисунком, назовите: три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D
7. Слайд 17
8. А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 В 1 С ?
9. Слайд 18
10. А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 В 1 С ?

Источник: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/02/22/prezentatsiya-k-uroku-aksiomy-stereometrii-sledstviya-iz-aksiom

Основные понятия и аксиомы стереометрии

• ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
• ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
• Учитель Математики Высшей категории
• Основные понятия и аксиомы стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.  Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

 Плоскость. 

 Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит

 через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко

 это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

1. Аксиомы стереометрии и их следствия
2. Аксиома 1. 
3.  Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. 

 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

• Аксиома 3. 
•  Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. 
• В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.
• Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты

1. .
2. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
3. Теорема 1. 
4.  Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2. 

 Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/osnovnie_ponyatiya_i_aksiomi_stereometrii_181333.html

Аксиомы элементарной геометрии

Существует три различных множества объектов; объекты первого множества называются точками, объекты второго — прямыми, объекты третьего — плоскостями. Множество всех точек, прямых и плоскостей называется пространством. Причем

1. между этими объектами, а также их группами могут существовать известные соотношения, которые обозначаются словами принадлежит, лежит между, конгруэнтен;

2. указанные соотношения должны удовлетворять двадцати аксиомам, перечисленным ниже;

3. в остальном природа объектов и соотношений между ними может быть произвольной.

Аксиомы делятся на пять групп:

1. аксиомы принадлежности1),

2. аксиомы порядка,

3. аксиомы конгруэнтности,

4. аксиомы непрерывности,

5. аксиома параллельности.

Соотношение принадлежит определено только между точками и прямыми, либо между точками и плоскостями, либо между прямыми и плоскостями.

Условимся, что соотношение принадлежит будет выражаться одним из следующих способов: точка принадлежит прямой , точка лежит на прямой , точка является точкой прямой , прямая проходит через точку . Или: точка принадлежит плоскости , точка лежит на плоскости , точка является точкой плоскости , плоскость проходит через точку и т.д.

1. Каковы бы ни были две точки и , существует прямая , которой принадлежат обе эти точки.
2. Каковы бы ни были две различные точки и , существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

3. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

4. Каковы бы ни были три точки , и , не принадлежащие одной прямой, существует плоскость , которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
5. Каковы бы ни были три точки , и , не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти три точки.
6. Если две принадлежащие прямой различные точки и принадлежат некоторой плоскости , то каждая принадлежащая прямой точка принадлежит указанной плоскости.2)
7. Если существует одна точка , принадлежащая двум плоскостям и , то существует по крайней мере еще одна точка , принадлежащая этим плоскостям.

8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Замечание 1. Аксиомы 1–3 исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии.

Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки.

Теорема 2. Две различные плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Теорема 3. Плоскость и не принадлежащая ей прямая не могут иметь более одной общей точки.

Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость.

Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки.

Соотношение лежит между определено только для трех точек, принадлежащих прямой.

Определение 1. Пару точек и назовем отрезком и будем обозначать или . Точки, лежащие между и , назовем внутренними точками или просто точками отрезка , точки и — концами отрезка. Все остальные точки прямой 3) будем называть внешними по отношению к отрезку .

1. Если точка лежит между точками и , то , и — различные точки одной прямой, причем лежит также и между и .
2. Каковы бы ни были две различные точки и , на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка такая, что лежит между и .

3. Среди любых трех различных точек одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

4. ( Аксиома Паша ) Если , и — три точки, не лежащие на одной прямой, и — некоторая прямая, принадлежащая плоскости, определяемой этими тремя точками, не содержащая ни одной из этих точек и проходящая через некоторую точку отрезка , то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка , либо через некоторую точку отрезка .

Замечание 2. Аксиомы 1–3 называются линейными аксиомами порядка.

Определение 2. Будем говорить, что две различные точки и прямой лежат по разные стороны ( лежат по одну сторону) от точки той же прямой, если точка (не) лежит между и .

Теорема 6. Произвольная точка некоторой прямой разбивает все остальные точки этой прямой на два непустых класса так, что любые две точки, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от , а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от .4)

Определение 3. Для заданных точек и прямой полупрямой или лучом будем называть класс всех точек, содержащих точку и лежащих по одну сторону от точки . Все точки этого класса называются точками полупрямой . Точка при этом называется началом полупрямой .

Теорема 7. Каждая прямая , расположенная в плоскости , разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два не пустых класса так, что любые две точки и из разных классов определяют отрезок , содержащий точку прямой , а любые две точки и из одного класса определяют отрезок , внутри которого не лежит ни одна точка прямой .

Определение 4. Используя обозначения формулировки теоремы 7, будем говорить, что точки и лежат по одну сторону прямой , а точки и лежат по разные стороны прямой .

Определение 5. Пара полупрямых и с началом в общей точке называется углом, если не все точки этих полупрямых лежат на одной прямой. Для обозначения угла используются знаки или . Если полупрямые задаются указанием точек: и , то угол обозначается символом .

Определение 6. Внутренними точками будем называть те точки плоскости , которые одновременно

• лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч , что и любая точка луча ,
• лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч , что и любая точка луча .

Термин конгруэнтен, или равен, используется для задания соотношений между отрезками или между углами.

1. Если и — две точки на прямой , — точка на той же прямой или на другой прямой , то по данную от точки сторону прямой 5) найдется, и притом только одна, точка такая, что отрезок конгруэнтен отрезку . Каждый отрезок конгруэнтен отрезку .
2. Если отрезки и конгруэнтны одному и тому же отрезку , то они конгруэнтны между собой.
3. Пусть и — два отрезка прямой , не имеющие общих внутренних точек, и — два отрезка той же прямой или другой прямой , также не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если отрезок конгруэнтен отрезку , а отрезок конгруэнтен отрезку , то отрезок конгруэнтен отрезку .
4. Пусть даны на плоскости , прямая на этой же или на какой-либо другой плоскости и задана определенная сторона плоскости относительно прямой . Пусть — луч прямой , исходящий из некоторой точки . Тогда на плоскости существует один и только один луч такой, что конгруэнтен и при этом все внутренние точки лежат по заданную сторону от прямой . Каждый угол конгруэнтен самому себе.
5. Пусть , и — три точки, не лежащие на одной прямой, , и — три другие точки, также не лежащие на одной прямой. Тогда, если отрезок конгруэнтен отрезку , отрезок конгруэнтен отрезку и конгруэнтен , то конгруэнтен и конгруэнтен .

1. ( Аксиома Архимеда ) Пусть и — произвольные отрезки. Тогда на прямой, определяемой точками и , существует конечное число точек , , , , расположенных так, что точка лежит между и , точка лежит между и , … , точка лежит между и , причем отрезки , , … , конгруэнтны отрезку и точка лежит между и .
2. ( Аксиома линейной полноты ) Совокупность всех точек произвольной прямой нельзя пополнить новыми объектами (точками) так, чтобы:
   1. на пополненной прямой были определены соотношения лежит между и конгруэнтны, определен порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтности 1-3 и аксиома Архимеда;
   2. по отношению к преждним точкам прямой определенные на пополненной прямой соотношения лежит между и конгруэнтны сохраняли старый смысл.

1. Пусть — произвольная прямая и — точка, лежащая вне прямой , тогда в плоскости , определяемой точкой и прямой 6), существует не более одной прямой, проходящей через и не пересекающей .

аналитическая геометрия,, аксиома архимеда, аксиома линейной полноты, аксиома паша, аксиоматика, аксиомы элементарной геометрии

Наверх

Источник: http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:geometry:elementary:axioms

Основные понятия стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.

Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.

Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.

Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.

Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.

Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.

Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы.

Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.

Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).

Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.

Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).

Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.

Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Аксиома 4. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Таким образом, в любой плоскости пространства можно использовать все доказанные теоремы и формулы из планиметрии.

Следствия из аксиом

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна. 

Следствие 4. Из аксиомы 2 следует, что прямая, не лежащая в плоскости, не может иметь с плоскостью более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость.

Основные теоремы стереометрии

Теоремы о параллельности прямых и плоскостей

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут: a // β

Теорема 1: Если прямая AB параллельна какой-нибудь прямой CD, расположенной в плоскости P, то она параллельна самой плоскости.

Теорема 2: Если плоскость R проходит через прямую AB, параллельную другой плоскости P, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения CD параллельна первой прямой AB.

Теорема 3: Если две параллельные плоскости P и Q пересекаются третьей плоскостью R, то линии пересечения AB и CD параллельны.

Теорема 4: Если две пересекающиеся прямые AB и DC одной плоскости соответственно параллельны двум прямым A₁ B₁ и C₁ D₁  другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей

Теорема 1: Для того что бы прямая AB была перпендикулярна плоскости P, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна двум произвольным непараллельным прямым CD и EF, лежащим в этой плоскости.

Теорема 2: Для того, чтобы прямая DE проведенная на плоскости P через основание наклонной AC была ей перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна к проекции BC, наклонной на плоскость P (Достаточное условие этой теоремы называется «Теоремой о трех перпендикулярах»: AC, BC, DE).

Теорема 3: Если две прямые AB и CD перпендикулярны одной плоскости P, то они параллельны между собой.

Теорема 4: Если две плоскости P и Q перпендикулярны одной прямой AB, то они параллельны друг другу.

Теоремы о перпендикулярности плоскостей

Двугранный угол называется прямым, если его линейный угол прямой. Прямой двугранный угол равен смежному с ним двугранному углу.

Определение: Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы.

Теорема 1:Перпендикулярность прямых в пространстве. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они то же перпендикулярны.

Теорема 2: Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Следствие 1: Если из точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей проведен перпендикуляр к другой плоскости, то он принадлежит первой плоскости.

Следствие 2: Если две плоскости, перпендикулярные к третьей плоскости, пересекаются, то их линия пересечения есть перпендикуляр к этой плоскости.

Теорема о скрещивающихся прямых

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема 1: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство

Пусть нам дана плоскость α. Прямая АВ лежит в плоскости α, а прямая DC пересекается с плоскостью α в точке С, которая не лежит на прямой АВ (Рис. 1.). Докажем, что прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость — α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. Теорема доказана.

Теорема 2: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство.

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и притом только одна.

Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой DC (Рис. 6.). По теореме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственная. Тогда через две пересекающиеся прямые АВ и АЕ можно провести единственную плоскость α. Так как прямая DC, которая не лежит в плоскости α, параллельна прямой АЕ, лежащей в плоскости α,  значит, что прямая DC параллельна плоскости α, по признаку параллельности прямой и плоскости. Существование доказано.

Докажем единственность такой плоскости. Пусть существует другая плоскость β, которая проходит через прямую АВ и параллельна прямой DC. Тогда прямая АЕ пересекает плоскость β, а значит и параллельная ей прямая DC пересекает плоскость β, по лемме. То есть, прямая DC не параллельна плоскости β. Получили противоречие. Следовательно, плоскость α – единственная. Теорема доказана.

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема 1: Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:

Теорема 2: (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость.

Доказательство.

Пусть AB — перпендикуляр к плоскости a, AC — наклонная и c — прямая в плоскости 

, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC. Проведём прямую CK параллельно прямой AB. Прямая CK перпендикулярна плоскости a (так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c. Проведём через параллельные прямые AB и CK плоскость b (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости b, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут лежать в одной плоскости или в разных плоскостях.

1. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
2. Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют общую точку.
3. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости

Основные фигуры в стереометрии

Симметрия фигур

1. Точки M и M1 называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка MM1.
2. Точки M и M1 называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна ему.
3. Точки M и M1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна этому отрезку.
4. Точка O (прямая l, плоскость α) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l, плоскости α) некоторой точке этой же фигуры.
5. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). 

Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.

Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

Теорема 1: (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема 2: Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

Призма

Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.

Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.

Боковая поверхность – объединение боковых граней.

Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.

Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.

Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.

Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.

Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.

Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.

Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру. Площадь поверхности и объём призмы.

Площадь поверхности и объём призмы

Пусть H — высота призмы, A₁ B₁ — боковое ребро призмы, Pосн — периметр основания призмы, осн S площадь основания призмы, бок S — площадь боковой поверхности призмы, полн S — площадь полной поверхности призмы, V — объем призмы, P — периметр перпендикулярного сечения призмы, S — площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

Свойства призмы:

• Основания призмы являются равными многоугольниками.
• Боковые грани призмы являются параллелограммами.
• Боковые ребра призмы параллельны и равны.
• Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания

Параллелепипед

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями, их стороны – ребрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда.

У параллелепипеда все грани — параллелограммы.

Параллелепипеды, как и всякие призмы, могут быть прямые и наклонные.

Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани ― боковыми гранями параллелепипеда.

Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда. A1 H H1 A2 An A3 B1 B2 n B3 B A B C D A1 B1 C1 D1 7

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).

Свойства параллелепипеда:

1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
3. Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.
4. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. 

Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE.

Грани, отличные от основания, называются боковыми. 

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). 

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. 

Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания.

Свойства пирамиды:

1. Боковые ребра пирамиды равны.
2. Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию пирамиды.
3. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.
4. Высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны, а высота пирамиды лежит внутри пирамиды.
5. Все двугранные углы при основании пирамиды равны.
6. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание.
7. Высоты всех боковых граней пирамиды, проведённые из вершины пирамиды, равны, а высота пирамиды лежит вне пирамиды.
8. Двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания пирамиды равны.
9. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вневписанной в основание пирамиды.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

1. В правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.
2. Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.
3. Двугранные углы при основании правильной пирамиды равны между собой.
4. Двугранные углы при боковых рёбрах правильной пирамиды равны.

Тетраэдр

Тетраэдр – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники.

Свойства тетраэдра:

1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

Прямоугольная пирамида

При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. 

Усечённая пирамида

Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.

Свойства усечённой пирамиды:

1. Основания усечённой пирамиды — подобные многоугольники.
2. Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции.
3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
4. Боковые грани правильной усечённой пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
5. Двугранные углы при боковых рёбрах правильной усечённой пирамиды равны.

Сфера и шар

Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.

Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.

Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра.

Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.

Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.

Теорема 1: (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
Теорема 2: (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Доказательство

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теорема 1: (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
Теорема 2: (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Многогранники

Геометрическим телом (или просто телом) называется ограниченная связная фигура в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причем сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры. Границу геометрического тела называют также его поверхностью и говорят, что поверхность ограничивает тело.

Плоскость, по обе стороны которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью.

Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью, называется сечением тела.

Многогранником или многогранной поверхностью называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

Свойства многогранников:

1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.
2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.
3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны, все двугранные углы правильного многогранника равны, все многогранные углы правильного многогранника равны.

Существует ровно пять выпуклых правильных многогранников:

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Все ребра правильного многогранника равны друг другу. Равны также все его двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

1.Правильный тетраэдр (четырехгранник) ― многогранник, составленный из четырех правильных треугольников. 

2. Правильный гексаэдр (шестигранник) или куб ― многогранник, составленный из шести правильных четырехугольников (квадратов) .

3. Правильный октаэдр (восьмигранник) ― многогранник, составленный из восьми правильных треугольников.

4. Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) ― многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

5. Правильный икосаэдр (двадцатигранник) ― многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников.

Цилиндр

В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. 

Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.

Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.

Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.

Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.

Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.

Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.

Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.

Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.   

Свойства цилиндра:

1. Основания цилиндра равны
2. Основания лежат в параллельных плоскостях
3. Образующие цилиндра параллельны и равны

Разница между аксиомой и теоремой

По сути, аксиомы — это предположения, которые не нужно доказывать. Они обычно принимаются как истинные, либо потому, что в них нет противоречий, либо потому, что мы, очевидно, знаем, что это правда. Аксиома слова происходит от греческого слова, которое означает «то, что считается достойным или подходящим» или «то, что оценивается как очевидное». Аксиома может иногда использоваться взаимозаменяемо с постулатом или предположением.

Теорема, с другой стороны, нуждается в доказательстве. Dictionary.com определяет теорему как:

• Математика. Теоретическое суждение, утверждение или формула, воплощающие что-то, что нужно доказать из других суждений или формул.
• Правило или закон, особенно тот, который выражается уравнением или формулой.
• Логика. Предложение, которое может быть выведено из предпосылок или предположений системы.
• Идея, убеждение, метод или утверждение обычно принимаются как истинные или стоящие без доказательств.

Теорема — это утверждение, которое было доказано путем тестирования или расчета. Это может быть доказано на основе теорем, которые были ранее доказаны или на основе аксиом. Теоремы состоят из двух частей: гипотезы и выводы.

Чем отличается теорема от аксиомы

Чем теорема отличается от аксиомы? И мне вопросик теорема вопросик аксиома

Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα — «зрелище, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). В отличие от теорем, аксиомами называются утверждения, которые в рамках конкретной теории принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований.

В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постула́т — исходное положение какой-либо теории, не доказываемое в рамках данной теории и лежащее в основе доказательства других ее положений.[1] В современной науке аксиомы — это те положения теории, которые принимаются за исходные, причём вопрос об истинности решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории.[1] Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами. С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии. Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» для построения теорий в любой науке, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта) или обосновываются в более глубокой теории. Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система) начиная с определённого уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, истинность и ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы).[2]

Прочитайте и сами сделайте вывод

Теорема — это утверждение и теорема требует доказательства. А аксиома — это как должное, аксиома не требует доказательств. Над теоремой работают учёные годами, что то доказывают. При этом пользуются аксиомами. В быту аксиома: стул — на нём сидят, а стол — за ним сидят (это чтоб понятней было)

Теорема — это утверждение и теорема требует доказательства. А аксиома — это как должное, аксиома не требует доказательств. Над теоремой работают учёные годами, что то доказывают.

Юлия Сергеевна, я точно не помню. Там чего-то без доказательств, а к чему-то доказательство нужно. Или там где-то что-то однозначно, а что-то под сомнение ставится.

Если коротко,то. Теорема-утверждение,для которого требуется доказательство.Оксиома-не требует доказательства.

Что такое аксиома, теорема, следствие

В данной публикации мы рассмотрим, что из себя представляют аксиомы, теоремы и следствия. Определения сопровождаются соответствующими примерами для лучшего понимания.

• Что такое аксиома
• Что такое теорема
• Что такое следствие

Что такое аксиома

Для того, чтобы решить многие математические задачи, очень часто требуется выполнить определенные логические действия, благодаря которым удается получить то или иное решение/доказательство.

Но есть в математике такие утверждения, которые не требуют никаких доказательств.

Например:

Через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Эти и другие подобные утверждения, не нуждающиеся в доказательстве и принимаемые в качестве исходных в какой-либо теории, называются аксиомами (от древнегреческого “axioma”, что означает “положение”, “утверждение”). Иногда их еще называются постулатами.

Аксиомы могут использоваться для решения конкретных задач или применяться для доказательства теорем.

Примечание: не допускается искажение формулировок аксиом и большинства теорем, т.е. их нужно учить наизусть.

Что такое теорема

В отличие от аксиомы, теорема – это суждение, которе требуется доказать. Т.е. в рассматриваемой теории для нее есть определенное доказательство.

Например:

Есть отдельный вид так называемых вспомогательных теорем, которые сами по себе не полезны и используются только для доказательства других теорем. Их называются леммами (от древнегреческого “lemma”, что означает “предположение”).

Например:

Если произведение нескольких сомножителей делится на простое число p, то по крайней мере один из сомножителей делится на p (лемма Евклида).

Что такое следствие

Следствие – это утверждение, которое было выведено из аксиомы или теоремы. И оно, также, требуется доказательства.