Аксиоматический метод курсовая работа

Реферат: Аксиоматический метод

Федеральное агенство по образованию РФ Саратовский государственный университет

имени Н.Г. Чернышевского

Кафедра математики и

методики её преподования

аксиоматический метод

курсовая работа

г. Саратов 2009 г.

содержание

Введение. 3

1. Основные понятия аксиоматической теории. 4

1.1.Основные этапы развития аксиоматического метода в науке. 4

1.2.Понятие аксиоматической теории. 7

1.3.Как возникают аксиоматические теории. 10

2. Примеры аксиоматических теорий. 12

Заключение. 16

Список используемых источников. 17

введение

Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях – сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки. Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом, т.е., когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие науки в двадцатом столетии показало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.

Целью данной курсовой работы является изучение применения аксиоматического метода к решению математических задач.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемых источников.

Во введении описана актуальность темы, сформулирована цель, дана структура курсовой работы.

В первой главе даны основные этапы развития аксиоматического метода и основные понятия аксиоматической теории. Намечен курс дальнейшего исследования.

Во второй главе описывается построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля.

В заключении сформулированы основные выводы к работе.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

1.1 Основные этапы развития аксиоматического метода в науке

Формирование современного понимания существа аксиоматического метода происходило на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки.

Истинное начало науки о геометрических фигурах и телах, конечно же, теряется в глубине тысячелетий. Начальное оформление первых геометрических представлений обычно связывают с древнейшими культурами Вавилона и Египта (3-2 тысячелетия до н.э.). С VII века до н.э. начинается пириод развития геометрии трудами греческих учёных. Пифагорейская школа в VI-V веках до н.э. продолжила геометрические исследования. Её основоположник Пифагор (560-470 или 580-500 г.г. до н.э.) в молодости около двадцати лет учился мудрости в Египте, ещё десяти – в Вавилоне. Несомненно, что в школе Пифагора геометрия сделала первые шаги от узкопрактических утилитарных задач, от геометрии измерения участков земли к обобщениям, абстракциям и рассуждениям.

Величайший философ античности Платон (428-348 г.г. до н.э.) создатель Академии, по-видимому, первым отчётливо поставил задачу построения всего научного знания вообще и геометрии в частности дедуктивным образом. Трактаты и учебники по геометрии появились ещё до Платона – известны руководства Гиппократа Хиосского, Демокрита, Февдия. но лишь Платон потребовал, чтобы во главу всякой отрасли знания были поставлены понятия и положения, из которых всё остальные, что к этой отрасли относятся должно вытекать кА их следствия. Но эта постановка у Платона всё же весьма расплывчата и контуры её лишь угадываются из всего его учения, построенного на полумистической базе.

Гениальный ученик Платона великий Аристотель (384-322 г.г. до н.э.), перешагнул через мистические догмы Платона, выявил его рациональные требования научного обоснования всякого знания всякой научной деятельности. Он охватил почти все достигнутые для его времени отрасли знания, стал основоположником научного метода и многих наук. Наука, по Аристотелю, представляет собой последовательность предложений, относящихся к некоторой области. Среди этих предложений имеются основные, которые настолько очевидны, что не требуют доказательств. Это – аксиомы. Остальные предложения должны быть выведены из них. Это – теоремы. Эта научная доктрина Аристотеля была принята как руководство к действию, прежде всего, математики. И когда примерно полстолетия спустя появился гениальный труд Евклида «Начала», то в его структуре явно просматривалась печать схемы Аристотеля.

Более 2000 лет «Начала» служили единственным руководством, по которому учились геометрии юноши и взрослые в странах запада и востока. Это была первая в истории человечества поистине научная книга: в ней геометрия была представлена как аксиоматическая теория, исходя из тех принципов, формулировки которых восходили к Аристотелю и Платону.

Наибольший интерес исследователей евклидовой системы обоснования геометрии на протяжении многих веков вызывал V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороной с которой эта сумма меньше двух прямых. Пространственность его формулировки толкала исследователей на то, чтобы доказать его, вывести из остальных постулатов и аксиом и тем самым исключить его из числа постулатов. Такие исследования велись в элленическую эпоху (Посидоний, I в до н.э., Санкери, XVIII в., Ламберт, XVIII в.). Это была эпоха Евклида в истории обоснования геометрии, эпоха его продолжателей и усовершенствователей, период наивно-аксиоматического построения геометрии. В начале XIX века вместе с безуспешными попытками доказательства V постулата она подходит к концу. Она рождала из себя выдающееся открытие – новое понимание оснований геометрии и новый шаг в понимании сути аксиоматического метода.

11 февраля 1826 г. в заседании Физико-математического факультета Казанского университета профессор Н.И. Лобачевский (1792-1856 г.г.) сообщил об открытие: V постулат Евклида лежит в основе теории параллельных прямых. Значения открытия Лобачевского неизмеримо велико для геометрии. Во-первых, он «закрыл» проблему V постулата, стоявшую перед геометрами 2000 лет, доказав, что V постулат логически не зависит от остальных аксиом геометрии, т.е. не является их необходимым следствием. Во-вторых, V постулат потому именно не вытекает из остальных постулатов, что наряду с геометрией Евклида, в которой этот постулат верен, возможна другая «воображаемая», геометрия, в которой V постулат не выполняется. В-третьих, открытие Лобачевского дало новый взгляд на суть аксиоматического метода, который получил своё дальнейшее развитие. Аксиомы – это вовсе не самоочевидные истины. Это – утверждения о каких-то первоначальных понятиях, принимаемые без доказательств и кладущиеся в основе теории, из которых все дальнейшие утверждения теории логически выводятся. Истинно то, что может быть логически доказано (выведено) из принятых аксиом. И, в-четвёртых, открытие новой, как её обычно называют, неевклидовой геометрии положило конец существовавшеё до Лобачевского точке зрения, согласно которой евклидова геометрия представлялась единственно мыслимым учением о пространстве.

К концу 60-х годов XIX века, когда идеи Лобачевского были уяснены и признаны основной массой математиков и те приступили к их дальнейшему развитию, с новой силой встала проблема аксиоматического построения геометрии. К концу XIX и в начале XX века было опубликовано много работ на эту тему. Наибольшую популярность получило сочинение немецкого математика Д. Гильберта «Основания геометрии», вышедшие в 1899 году. В этой книге Гильберт привёл полную систему аксиом евклидовой геометрии, т.е. такой набор основных предложений, из которых все остальные утверждения геометрии могут быть доказаны логическим путём, доказал противоречивость этой системы и независимость некоторых аксиом от остальных аксиом системы. С выходом в свет этой книги вопрос о логическом обосновании геометрии фактически был закрыт. Более того, были окончательно осознаны те идеи и принципы, которые характеризуют суть аксиоматического подхода к обоснованию геометрии, а также суть аксиоматического метода вообще. Было принято, что значит построить аксиоматическую теорию и на какие вопросы при этом необходимо дать ответы. Это вопросы, связанные с непротиворечивостью, полнотой и категоричностью этой теории и независимостью её системы аксиом. Различные системы аксиом, исходящие из различных первоначальных понятий, строились как до выхода книги Гильберта (М. Пашем в 1882 году), так и после её выхода, вплоть до начала 20-х годов (Г. Вейлем в 1916 году). Этим был завершён второй этап развития аксиоматического обоснования геометрии абстрактно-аксиоматическое построение геометрии.

Геометрические исследования, начатые Лобачевским, привели к тому, что в начале XX века было сформировано фундаментальнейшее понятие современной математики – понятие (математического или геометрического) пространства как некой совокупности однородных объектов произвольной природы (точек, векторов, фигур, функций и т.п.), взаимное отношения между которыми удовлетворяют той или иной системе аксиом. Такое понимание позволило геометрическим идеям, оплодотворённым аксиоматическим методом, проникнуть во многие области математики, физики и других наук. При этом и сама геометрия стала развиваться всё шире, математика становилась всё более единой наукой, а границы её многообразных областей, в том числе и геометрии, становились всё менее чёткими. Поистине цементным раствором, соединившим прочнейшими связями основания всех областей математики, явилась в XX веке математическая логика. С её помощью был исследован сам процесс доказательства, процесс вывода теорем из аксиом. Тем самым аксиоматический метод получил дальнейшее своё развитие и достиг в определённом смысле вершины. Аксиоматические теории сами стали точными математическими объектами, названными формальными системами, и стали изучаться математическими методами, стала строиться теория также математических теорий (теория формальных систем), называемая метатеорией. Это направление было начато в работах Гильберта и получило название метода формализации и обоснования математики. В рамках метатеории геометрии были доказаны непротиворечивость, категоричность, полнота и разрешимость аксиоматической теории евклидовой геометрии, а также и геометрии Лобачевского. Можно сказать, что в XX веке состоялся третий этап развития аксиоматического метода.

1.2 Понятие аксиоматической теории

Исторический процесс развития взглядов на существо математики как науки привел к формированию фундаментальной концепции аксиоматического метода и понятия аксиоматической теории. Суть их состоит в следующем. Выбирается ряд первоначальных понятий, которые не определяются и используются без объяснения их смысла. Вместе с тем, все другие понятия, которые будут использоваться, должны быть строго определены через первоначальные неопределённые понятия и через понятия, смысл которых был определён раньше. Высказывания, определяющее таким способом значение понятия, называется определением, а само понятие, смысл которого определён, носит название определяемого понятия. Евклид сделал попытку строго определить все первоначальные понятия геометрии: точки, прямой, плоскости и т.д. Но совершенно ясно, что эти понятия должны определяться через какие-то другие, те в свою очередь, должны опираться на следующие понятия, и так далее, так что процесс бесконечен. Таким образом, первоначальные понятия аксиоматической теории не определяются.

—PAGE_BREAK—

Совершенно аналогична ситуация и с утверждениями о первоначальных и об определяемых понятиях. Невозможно доказать все истинные утверждения об этих понятиях, потому что при доказательстве нужно опираться на какие-то предыдущие утверждения, при их доказательстве, в свою очередь, — на следующие, и так без конца. Поэтому и здесь необходимо выделить некоторые утверждения и объявить их истинными. Такие утверждения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами аксиоматической теории. Совокупность аксиом обозначается буквой å. Вопрос о том, какие утверждения о первоначальных понятиях выбираются в качестве аксиом, заслуживает специального рассмотрения. Евклид в качестве пяти своих аксиом (постулатов) выбрал наиболее, на его взгляд, очевидные утверждения о точках и прямых, т.е. такие утверждения, которые многократно подтверждались практическим опытом человечества.

Итак, после того, как система аксиом аксиоматической теории выбрана, приступают к развитию самой аксиоматической теории. Для этого, исходя из выбранной системы аксиом, пользуясь правилами логического умозаключения, выводятся новые утверждения о первоначальных понятиях, а также об определяемых понятиях. Получаемые утверждения называются теоремами данной аксиоматической теории.

Можно более точно сформировать понятие теоремы аксиоматической теории и её доказательства. Доказательством утверждения С, сформулированного в терминах данной теории, называется конечная последовательность В1, В2, …, В5 высказываний теории, в которой каждое высказывание есть либо аксиома, либо оно получено из одного или более предыдущих высказываний данной последовательности по логическим правилам вывода, а последнее высказывание В5 есть утверждение С. При этом, С называется теоремой или доказуемым утверждением аксиоматической теории. Обозначение:|- С. Каждая аксиома аксиоматической теории является её теоремой доказательство аксиомы есть одноэлементная последовательность, состоящая из неё самой.

Важным является следующее обобщение понятия теоремы. Пусть Г – конечное множество высказываний некоторой аксиоматической теории. Утверждение С теории, называется выводами из Г (обозначается Г |-), если существует конечная последовательность высказываний В1, В2, …, В5, называемая выводом С из Г, каждое высказывание которой является либо аксиомой, либо высказыванием из Г, либо получено из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по какому-либо из правил вывода рассматриваемой теории, а последнее высказывание В5 есть утверждение С. Утверждение из множества Г называются гипотезами. В частном случае, когда Г=Æ, вывод С из Г превращается в доказательство утверждения С, а С становится теоремой аксиоматической теории.

Итак, под аксиоматической теории, построенной на основе системы аксиом å, понимается совокупность всех теорем, доказываемых, исходя из этой системы аксиом. Такую совокупность теорем обозначают Тh (å).

Изложенный метод построения математической теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом есть дело условия: одно и тоже утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлён по-иному. Итак, если в обыденной жизни за термином «аксиома» утвердился его изначальный смысл (в переводе с греческого «аксиома» означает «достойный признания), именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике, при построении аксиоматических теорий, аксиомы условны. Они «достойны признания» не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому что на их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Коротко говоря, аксиомы – это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы – то, что выводится из аксиомы.

Суть аксиоматического построения математической теории состоит в том, что сначала выбирается ряд первоначальных понятий, который не определяются и используются без объяснения их смысла. Ранее, формулируется ряд первоначальных утверждений. Об этих первоначальных понятиях, которые принимаются без доказательства и которые называются аксиомами. Наконец, исходя из выбранной системы аксиом, доказывают новые утверждения о первоначальных понятиях, а также о понятиях, которые определяются в процессе развития аксиоматической теории. Эти доказываемые утверждения называются теоремами, а совокупность всех теорем, выводимых (доказываемых) из данной системы аксиом, называется аксиоматической теорией, построенной на базе этой системы аксиом.

1.3 Как возникают аксиоматические теории

Можно указать два пути, по которым происходило становление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике.

Первый путь состоит в том, что та или иная математическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимает характер аксиоматической теории. Именно таким путём были аксиоматизированы следующие математические теории: арифметика (на основе системы аксиом Дж. Пиано), геометрия (на основе разнообразных систем аксиом, в частности, Д. Гильберта, Г. Вейля, М. Пиери и т.д.), теория вероятностей (аксиоматика А.Н. Колмогорова) и другие.

Второй путь возникновения аксиоматических теорий состоит в том, что обнаруживалось глубокое внутреннее сходство между основными чертами, казалось бы, совершенно различных математических теорий. Данное обстоятельство наводило на мысль выделить общие черты и, руководствуясь ими, построить аксиоматическую теорию. На этом пути возникли, по-видимому, все аксиоматические теории и, прежде всего, теории групп, колец, полей и других алгебраических систем, общая или универсальная алгебра и т.д. Здесь появляется прекрасная возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие, а также возможность свободно интерпретировать первоначальные понятия и аксиомы аксиоматической теории, что раскрывает широкие перспективы приложений таких теорий и является одним из мощных источников действенной силы математики как науки вообще.

2. ПРИМЕРЫ АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ

Приведём примеры аксиоматических теорий возникших разными путями.

Пример1. Теория групп – одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно не мало объектов, обладающих многочисленными общими чертами. Среди них, в частности, множество F1-1(М) всех взаимнооднозначных отображений множества М на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений, множество Z всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел, множество V2 всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через G, а каждую из операций через * (и называя её композицией элементов из G), обнаруживаем, что все три указанные объекта обладают следующими свойствами:

G0. Для любых а и в из G композиция а *в есть однозначно определённый элемент из G.

G1. Для любых а и в и с из G(а *в) *с = а *(в *с).

G2. В G имеется такой элемент е, что для любого а из G а *е = е *а = а.

G3. Для любого а из G имеется такой а’ из G, что а *а’ = а’*а = е.

Например, элементе, существование которого утверждается в свойстве G2, в случае F1-1(М) есть тождественное отображение М на М, в случае Z – целое число 0, в случае V2 – нуль вектор. В свойстве G3 элемент а’ есть обратное преобразование f-1, противоположное число –m, противоположный вектор ВА для преобразования f, целого числа m и вектора АВ соответственно. Утверждения G0 — G3 и составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории.

Теорема 1. В группе имеется точно один единичный элемент.

Доказательство: Ввиду G2 нужно доказать лишь единственность. Допустим, что в G имеется два единичных элемента –е1 и е2, т.е. на основании G2, для любого ае1*=а и а*е2= а. Тогда, в частности, е1* е2= е2 и е1* е2= е1. Следовательно, в силу G0 и свойств равенства е1= е2.

Теорема 2. Для каждого элемента группы имеется точно один обратный.

Доказательство: Ввиду G3 остаётся доказать лишь его единственность. Допустим, что в G для элемента а имеется два обратныха’ и а’’, т.е. таких элементов, что а’’ *а = е и а *а’ = е. Тогда, в силу G1 (а’’ *а) *а’ = а’’ и, следовательно, е *а’ = а’’ *е. Отсюда следует, согласно G2, что а’ = а’’.

В мультипликативной терминологии обратный элемент для а обозначается через а-1, так что а-1*а = а *а-1= е, где единственный единичный элемент из G.

Теорема 3. Для любых элементов а, в, с, группы G из а * в = а * с следует в = с, и из в * а = с * а следует в = с.

Доказательство: Пустьа * в = а * с. Тогда а-1* (а * в)=( а-1* а) * в = е * в = в. С другой стороны, а-1* (а * в)= а-1* (а * с) = (а-1* а) * с = е * с = с. следовательно, в = с. Пусть в * а = с * а. Тогда (в * а) * а-1= в * (а * а-1) = в * е = в. С другой стороны (с * а) * а-1= с * (а * а-1) = с * е = в. Значит в = с.

Пример 2. Теория конгруэнтности (равенства) отрезков. Sмножество всех отрезков и @ отношение, называемое отношением конгруэнтности, так, что выражение х @у читается так: отрезок х конгруэнтен отрезку у. Выберем в качестве аксиом следующие утверждения:

К1. Для всякого х из S х @х.

    продолжение
—PAGE_BREAK—

К2. Для любых элементовх, у, z из S, если х @z и у @z, то х @у.

Докажем теорему.

Теорема 1. Для любых элементов у и z изS, если у @z, то z@у.

Доказательство: По аксиоме К2, подставивz вместох, получим, что если z@z и у @z, то z@у. Поскольку член конъюнкции z@z истинен на основании аксиомы К1, то из конъюнкции его можно убрать. Получим, что если у @z, то z@у.

Пример 3. Аксиоматическая теория натуральных чисел построена итальянским математиком Дж. Пеано на рубеже XIX и XX веков. Её первоначальными понятиями являются: непустое множество N, бинарное отношение ‘ и выделенный элемент 1. Аксиомы выбираются следующие:

(Р1) («х) (х’ ¹1).

(Р2) («х, у) (х = у ®х’ = у’)

(Р3) («х, у) (х’ = у’ ®х = у)

(Р4) (Аксиома индукции) (1ÎМ ^ («х)(хÎМ®х’ÎМ)) ®М=N.

Правилами вывода служат обычные логические правила Modus Ponens и правило подстановки.

Приведём доказательства двух теорем, непосредственно вытекающих из этих аксиом.

Теорема 1. («х) (х’ ¹х)

Доказательство: Рассмотрим множество. М = {х ÎN: х’ ¹х }. Покажем, используя аксиому индукции (Р4), чтоМ = N.

А) 1ÎМ, так как1′¹1 по аксиоме Р1.

Б) ПустьхÎМ, т.е. х’ ¹х. Тогда, по аксиоме Р3, (х’) ‘ ¹х’. Следовательно, по определению, х’ ÎМ.

Условия аксиомы Р4 выполнены. Тогда, по аксиоме Р4, М = N. Это и означает, что («х) (х’ ¹х).

Пример 4. Аксиоматическое построение канторовской («наивной») теории множеств на основе нескольких систем аксиом. Всего рассмотрим три системы аксиом.

Первоначальными понятиями теории Т, являются бинарные операцииÇ, È (пересечение и объединение), унарная операция ‘ (дополнение), нульарные операции и 1, фиксирующие два различных элемента – нулевой и единичный. Система аксиом å1 этой теории симметрична относительно операций Ç, È, 0, 1.

(А1)х Çу = у Çх.

(А2) х Èу = у Èх.

(А3) х Ç(у Èz) = (х Çу) È(х Çz).

(А4)х È(у Çz) = (х Èу) Ç(х Èz).

(А5) х Ç1 = х.

(А6) х È0 = х.

(А7) х Çх’ = 0.

(А8) х Èх’ = 1.

Первоначальными понятиями второй теории Т2 являются бинарная операция Ç и унарная операция ‘.

Система аксиом å2 этой теории, наоборот, ассиметрична, «смещена» в сторону операции Ç.

(В1) х Çу = у Çх.

(В2) (х Çу) Çz = х Ç(у Çz).

(В3) х Çу’ = z Çz’ Þх Çу = х.

(В4) х Çу = х Þх Çу’ = z Çz’.

Наконец, в третий теории Т3, в которой первоначальными понятиями являются бинарное отношение С, бинарные операции Ç и È, унарная операция ‘ и нульарные операции и 1, система аксиом å3 следующая:

(С1) х Ìх.

(С2) х Ìу ^ у Ìz = х Ìz.

(С3) х Èу Ìz Þх Ìz ^ у Ìz.

(С4) z Ìх Çу Þz Ìх ^ z Ìу.

(С5) х Ç(у Èz) Ì(х Çу) È(х Çz).

(С6) х Ì1.

(С7) 0 Ìх.

(С8) 1 Ìх Èх’.

(С9) х Çх’ Ì.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведённого курсового исследования по теме «Аксиоматический метод» можно сделать следующие выводы.

Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях – сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории древней науки. У истоков идеи аксиоматического метода стоят титаны древнегреческой мысли Платон, Аристотель, Евклид.

Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Хотя математика в наше время и является чрезвычайно обширной наукой знаний, имеющей многочисленные разделы и на первый взгляд разобщённые направления исследования, всё-таки математика – это единая наука. Её предмет исследований множество математических структур, её основной метод – аксиоматический метод. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом, т.е. когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие наук в двадцатом столетии показало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пединститутов. — М., «Просвещение» 1975.

Игошин В.И. Основания геометрии – Саратов, «Научная книга», 2004.

Игошин В.И. Векторная алгебра – Саратов, «Научная книга», 2005.

Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории – М., «Просвещение», 1968.

Метод аксиоматический – В кн. «Философская энциклопедия», т. 3 – М Сов. Энциклопедия, 1964.

Оглавление

Введение. 3

1. Понятие аксиоматического метода. 4

2. Формальный аксиоматический метод. 5

3. Возникновение аксиоматического метода. 6

4. Игрушечный пример аксиоматической теории. 7

Заключение. 10

Список использованных источников. 11

Введение

Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях – сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки.

Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом, т.е., когда наука принимает характер аксиоматической теории.

Более того, развитие науки в двадцатом столетии показало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.

Целью реферата является изучение сущности аксиоматического метода.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Понятие аксиоматического метода

Аксиоматический метод – это способ построения и систематизации научного знания в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые утверждения выбираются в качестве исходных положений (аксиом), а все остальные утверждения (теоремы) этой теории доказывают (или выводят), исходя лишь из аксиом с помощью чисто логических рассуждений [1].

И аксиомы, и теоремы – это высказывания (утверждения) на некотором языке о некоторых понятиях (или терминах). Поэтому, прежде чем формулировать аксиомы и доказывать теоремы, мы должны договориться, о каких именно понятиях пойдет речь в излагаемой теории. Понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними.

Одни понятия можно определять через другие. В какой-то момент необходимо остановиться и объявить некоторые понятия неопределяемыми (или исходными), и через них определять все остальные понятия (определяемые или производные), о которых говорится в данной теории.

Итак, чтобы пользоваться аксиоматическим методом построения теории, нужно:

1) выбрать исходные понятия;

2) сформулировать аксиомы («исходные» утверждения) об этих понятиях;

3) выводить новые утверждения (теоремы) о них, пользуясь логикой и аксиомами [2].

2. Формальный аксиоматический метод

И утверждения, и доказательства можно записывать в естественном языке (скажем, русском), пользуясь «психологическим» понятием доказательства, и тогда с помощью этого метода будет строиться (неформальная) аксиоматическая теория. Но недостатком естественного языка является то, что слова не всегда имеют ясный смысл [3].

Можно же строить теорию иначе (повысив уровень строгости «на две ступеньки»):

— формализация языка: фиксировать точный (формальный) язык, на котором будут записываться все утверждения излагаемой теории;

— формализация логики: точно задать, что называется доказательством (одного утверждения из других), то есть строго задать, что такое упоминавшееся выше «чисто логическое рассуждение». В результате мы сможем абсолютно точно сказать, является ли некоторый данный нам текст доказательством или не является. Заметим, что при этом абсолютно точный смысл автоматически приобретет и понятие «теорема» данной теории — это такое утверждение, которое получается из данных аксиом путем доказательства.

Теория, построенная таким образом, будет называться формальной аксиоматической теорией, а сам описанный способ построения теории – формальным аксиоматическим методом [3].

3. Возникновение аксиоматического метода

Зародился аксиоматический метод еще в Древней Греции. В знаменитом сочинении Евклида «Начала» (3 век до н.э.) были систематизированы основные известные в то время геометрические сведения. Главная же заслуга Евклида в том, что в «Началах» был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются исходные положения – аксиомы («очевидные истины, не требующие доказательства»), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения – теоремы [4].

Среди аксиом Евклида была так называемая «аксиома о параллельных прямых» (она же — «пятый постулат Евклида»). Сегодня она формулируется так:5 «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной» (у Евклида была несколько иная формулировка, но эквивалентная этой, как показали более поздние ученые). По своему характеру эта аксиома сильно отличалась от остальных его аксиом, была сложнее их. Многие математики в течение почти двух тысяч лет предпринимали попытки доказать этот постулат, исходя из остальных аксиом. И лишь в 19 веке было окончательно выяснено (и в чем состоял выдающийся вклад русского математика Николая Лобачевского), что данную аксиому нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

4. Игрушечный пример аксиоматической теории

В самом деле, если бы таких бокров было два, то они будлались бы обеими нашими куздрами, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт:

(K6) Для каждых двух различных бокров найдётся такой третий бокр, что не существует куздры, будлающей всех этих трёх бокров.

Итак, что мы имеем. Мы имеем какие-то объекты (в данном случае – бокры и куздры) и отношения между ними (в данном случае – отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае – в утверждениях (K1)–(K4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае – аксиомы куздрологии). Они используются для того, чтобы, принимая их в качестве истин, выводить из них теоремы, то есть дальнейшие утверждения о наших объектах и отношениях (одну теорему куздрологии мы доказали, другую предложили доказать читателю). Так строится любая аксиоматическая теория, в частности – геометрия [2].

Заключение

По результатам проведённого курсового исследования по теме «Сущность аксиоматического метода» можно сделать следующие выводы.

Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях – сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории древней науки. У истоков идеи аксиоматического метода стоят титаны древнегреческой мысли Платон, Аристотель, Евклид.

Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Хотя математика в наше время и является чрезвычайно обширной наукой знаний, имеющей многочисленные разделы и на первый взгляд разобщённые направления исследования, всё-таки математика – это единая наука. Её предмет исследований множество математических структур, её основной метод – аксиоматический метод. 

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа №97»

Ленинского района города Нижнего Новгорода

Конференция исследовательских работ

обучающихся

Аксиоматический
метод в прошлом.

Выполнил: Егорычев Данила Владимирович

Ученик 8 «А»

Руководитель: Камерина Елена Борисовна

                                      
   город Нижний Новгород

2020 год                         

                                                                                                                                                                                         1

Оглавление

1.Введение………………………………………………………………3
2.Аксиомы: два понимания……………………………………………4
3.Проблема аксиомы о параллельных прямых .….…………………5
4.Геометрия Лобачевского…………………………………………………6
1.     5.Создание аксиоматического метода ………………………………7
2.     6. Сущность аксиоматического метода ……………………………..8
3.     7. Заключение…………………………………………………………9 8. Список литературных источников……………………………….10                                                                                                                               2
1.Введение Аксиоматический метод — это способ построения математической теории, при котором в основу кладутся некоторые положения, принимаемые без доказательства (аксиомы), а все остальные выводятся из них чисто логическим путем. При радикальном применении этого подхода математика сводится к чистой логике, из нее изгоняются такие вещи, как интуиция, наглядные геометрические представления, индуктивные рассуждения и так далее. Исчезает то, что составляет суть математического творчества. Возникновение аксиоматического метода связано с именем Пифагора (V в. до н.э.), но впервые аксиоматический метод успешно применил Евклид в своей книге «Начала» в III в. до н.э. В последствии на аксиоматическом методе была построена сама математика. Зачем же вы спросите тогда был придуман этот метод? Для ответа на этот вопрос нам нужно обратиться к самым истокам математики.

                                                                                                                                                                                        
3

                            2.Аксиомы: два
понимания

Как мы помним из школы,
математические доказательства, аксиомы и теоремы появились в Древней
Греции. Аксиоматическое построение геометрии было канонизировано в книге,
по которой обучались математике многие поколения, — в «Началах»
Евклида. Впрочем, в те времена понятие аксиомы понималось по-иному,
чем теперь. До сих пор в школьных учебниках иногда говорится, что
аксиомы — это очевидные истины, принимаемые без доказательства. В 19
веке это понятие сильно изменилось, потому что ушло слово «очевидные». Аксиомы
перестали быть очевидными, они по-прежнему принимаются без доказательства,
но могут быть в принципе совершенно произвольными утверждениями.
За этим небольшим, на первый взгляд, изменением стоит достаточно
радикальная смена философской позиции — отказ от признания одной-единственной
возможной математической реальности. Главную роль в таком изменении,
безусловно, сыграла история возникновения неевклидовой геометрии, которая
произошла в 19 веке благодаря работам таких ученых, как Николай   
Иванович Лобачевский и Яшон Бойяи.

                                                                                                                                 4

                  3. Проблема
аксиомы о параллельных прямых

История неевклидовой
геометрии началась с попыток доказать так называемый пятый постулат Евклида —
знаменитую аксиому о параллельных: через точку вне прямой можно провести не
более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение по своему характеру
заметно отличалось от остальных аксиом Евклида. Многим казалось, что нужно его
доказывать, оно не было столь же очевидным, как остальные аксиомы. По пытки
эти столетиями не завершались успехом, многие математики предлагали свои
«решения», в которых впоследствии другие математики находили ошибки. (Сейчас-то
мы знаем, что эти попытки были заведомо обречены на неудачу, это был один из
первых примеров недоказуемых математических утверждений).

                                                                                                                                                                                        
5

                                
4.Геометрия Лобачевского  

Лишь в 19 веке было осознано, что, быть может, это утверждение
на самом деле недоказуемо и существует какая-то другая, совсем
отличная от нашей геометрия, в которой эта аксиома неверна. Что
сделал Лобачевский? Он поступил так, как поступают часто математики,
пытаясь доказать какое-то утверждение. Излюбленный прием — доказательство
от противного: предположим, что данное утверждение неверно. Что же
отсюда следует? Для доказательства теоремы математики пытаются вывести
из сделанного предположения противоречие. Но в данном случае
Лобачевский получал все новые математические, геометрические следствия
из сделанного предположения, но они выстраивались в очень
красивую, внутренне согласованную систему, которая тем не менее отличалась
от привычной нам евклидовой. Перед его глазами разворачивался новый,
непохожий на привычный нам мир неевклидовой геометрии. Это и привело
Лобачевского к осознанию того, что такая геометрия возможна. При этом
аксиома о параллельных в геометрии Лобачевского явно противоречила
нашей обыденной геометрической интуиции: она не только не была
интуитивно очевидной, но была с точки зрения этой интуиции ложной.

Однако одно
дело представить себе, что такое в принципе возможно, а другое — доказать
строго математически, что такая система аксиом для геометрии непротиворечива.
Это было достигнуто еще на несколько десятилетий позже в трудах других
математиков — Бельтрами, Клейна и Пуанкаре, которые предложили модели аксиом
неевклидовой геометрии в рамках обычной евклидовой геометрии. Они фактически
установили, что противоречивость геометрии
Лобачевского влекла бы противоречивость привычной нам евклидовой геометрии.
Верно и обратное, то есть с точки зрения логики обе системы оказываются
совершенно равноправными.

                                                                                                                                  
6

                        
5.Создание аксиоматического метода 

Ситуация была осмыслена после выхода
книги  Гильберта «Основания геометрии», он и предложил
то понятие аксиоматического метода, с которого мы начали.
Гильберт понял, что для того, чтобы разобраться с основаниями геометрии,
необходимо полностью исключить из аксиом все, кроме логики.
Он красочно выразил эту мысль следующим образом: «Справедливость
аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим
привычные термины «точка, прямая, плоскость»

Именно
Гильберт построил первую последовательную и полную систему аксиом для
элементарной геометрии, это произошло в самом конце 19 века. Таким
образом, аксиоматический метод был фактически создан для того, чтобы доказать
невозможность доказательства некоторых, в данном случае геометрических,
утверждений.

                                                                                                                                  
7

                       6.Сущность
аксиоматического метода

Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой. Так говорил Английский физик-теоретик, один из
создателей квантовой механики Поль Дирак.

Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые
и неопределяемые. Под определением понимают точную
формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это
значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это
понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия
заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к
которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех
характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.

Пример. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все
стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие
прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны
равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма,
для параллелограмма — понятие четырехугольника, для четырехугольника — понятие
многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.

Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более
общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями.
Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние,
множество и так далее.

Связи и отношения между основными понятиями формулируются с
помощью аксиом.

                                                                                                      8

                                             7.Заключение

В ходе работы я выяснил, что аксиоматический
метод, в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание
на самих правилах построения математических гипотез, относящихся
к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определённым
содержательным предметным областям.

Отдельно стоит сказать о преподавании математики. Нет ничего хуже,
чем строить обучение школьников на выполнении механических действий
(алгоритмов) или же на построении формальных логических выводов. Так можно
загубить в человеке любое творческое начало. Соответственно, при обучении
математике не стоит подходить с позиции строгого аксиоматического метода в
смысле Гильберта — не для того он был создан.

                                                                                                                           
9

                                                                                                                          
8.Литературные источники.

Яндекс — https://yandex.ru/

Mathematics— https://mathematics.ru

Википедия-
https://ru.wikipedia.org

Studopedia — https://studopedia.ru/11_26198_elementi-topologii.html

                                                                                                                      
10

Скачано с www.znanio.ru

Скачай Аксиоматический метод курсовая по математике и еще Дипломная в формате PDF Математика только на Docsity! ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ЕЁ ПРЕПОДОВАНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД КУРСОВАЯ РАБОТА научный руководитель г. Саратов 2008 г. СОДЕРЖАНИЕ Введение. I. Основные понятия аксиоматической теории. 1.1.Основные этапы развития аксиоматического метода в науке 1.2.Понятие аксиоматической теории 1.3.Как возникают аксиоматические теории. II.Примеры аксиоматических теорий. Заключение. Список используемых источников. деятельности. Он охватил почти все достигнутые для его времени отрасли знания, стал основоположником научного метода и многих наук. Наука, по Аристотелю, представляет собой последовательность предложений, относящихся к некоторой области. Среди этих предложений имеются основные, которые настолько очевидны, что не требуют доказательств. Это – аксиомы. Остальные предложения должны быть выведены из них. Это – теоремы. Эта научная доктрина Аристотеля была принята как руководство к действию, прежде всего, математики. И когда примерно полстолетия спустя появился гениальный труд Евклида «Начала», то в его структуре явно просматривалась печать схемы Аристотеля. Более 2000 лет «Начала» служили единственным руководством, по которому учились геометрии юноши и взрослые в странах запада и востока. Это была первая в истории человечества поистине научная книга: в ней геометрия была представлена как аксиоматическая теория, исходя из тех принципов, формулировки которых восходили к Аристотелю и Платону. Наибольший интерес исследователей евклидовой системы обоснования геометрии на протяжении многих веков вызывал V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороной с которой эта сумма меньше двух прямых. Пространственность его формулировки толкала исследователей на то, чтобы доказать его, вывести из остальных постулатов и аксиом и тем самым исключить его из числа постулатов. Такие исследования велись в элленическую эпоху (Посидоний, I в до н.э., Санкери, XVIII в., Ламберт, XVIII в.). Это была эпоха Евклида в истории обоснования геометрии, эпоха его продолжателей и усовершенствователей, период наивно-аксиоматического построения геометрии. В начале XIX века вместе с безуспешными попытками доказательства V постулата она подходит к концу. Она рождала из себя выдающееся открытие – новое понимание оснований геометрии и новый шаг в понимании сути аксиоматического метода. 11 февраля 1826 г. в заседании Физико-математического факультета Казанского университета профессор Н.И. Лобачевский (1792-1856 г.г.) сообщил об открытие: V постулат Евклида лежит в основе теории параллельных прямых. Значения открытия Лобачевского неизмеримо велико для геометрии. Во-первых, он «закрыл» проблему V постулата, стоявшую перед геометрами 2000 лет, доказав, что V постулат логически не зависит от остальных аксиом геометрии, т.е. не является их необходимым следствием. Во-вторых, V постулат потому именно не вытекает из остальных постулатов, что наряду с геометрией Евклида, в которой этот постулат верен, возможна другая «воображаемая», геометрия, в которой V постулат не выполняется. В- третьих, открытие Лобачевского дало новый взгляд на суть аксиоматического метода, который получил своё дальнейшее развитие. Аксиомы – это вовсе не самоочевидные истины. Это – утверждения о каких-то первоначальных понятиях, принимаемые без доказательств и кладущиеся в основе теории, из которых все дальнейшие утверждения теории логически выводятся. Истинно то, что может быть логически доказано (выведено) из принятых аксиом. И, в- четвёртых, открытие новой, как её обычно называют, неевклидовой геометрии положило конец существовавшеё до Лобачевского точке зрения, согласно которой евклидова геометрия представлялась единственно мыслимым учением о пространстве. К концу 60-х годов XIX века, когда идеи Лобачевского были уяснены и признаны основной массой математиков и те приступили к их дальнейшему развитию, с новой силой встала проблема аксиоматического построения геометрии. К концу XIX и в начале XX века было опубликовано много работ на эту тему. Наибольшую популярность получило сочинение немецкого математика Д. Гильберта «Основания геометрии», вышедшие в 1899 году. В этой книге Гильберт привёл полную систему аксиом евклидовой геометрии, т.е. такой набор основных предложений, из которых все остальные утверждения геометрии могут быть доказаны логическим путём, доказал противоречивость этой системы и независимость некоторых аксиом от остальных аксиом системы. С выходом в свет этой книги вопрос о логическом обосновании геометрии фактически был закрыт. Более того, были окончательно осознаны те идеи и принципы, которые характеризуют суть аксиоматического подхода к обоснованию геометрии, а также суть аксиоматического метода вообще. Было принято, что значит построить аксиоматическую теорию и на какие вопросы при этом необходимо дать ответы. Это вопросы, связанные с непротиворечивостью, полнотой и категоричностью этой теории и независимостью её системы аксиом. Различные системы аксиом, исходящие из различных первоначальных понятий, строились как до выхода книги Гильберта (М. Пашем в 1882 году), так и после её выхода, вплоть до начала 20-х годов (Г. Вейлем в 1916 году). Этим был завершён второй этап развития аксиоматического обоснования геометрии абстрактно-аксиоматическое построение геометрии. Геометрические исследования, начатые Лобачевским, привели к тому, что в начале XX века было сформировано фундаментальнейшее понятие современной математики – понятие (математического или геометрического) пространства как некой совокупности однородных объектов произвольной природы (точек, векторов, фигур, функций и т.п.), взаимное отношения между которыми удовлетворяют той или иной системе аксиом. Такое понимание позволило геометрическим идеям, оплодотворённым аксиоматическим методом, проникнуть во многие области математики, физики и других наук. При этом и сама геометрия стала развиваться всё шире, математика становилась всё более единой наукой, а границы её многообразных областей, в том числе и геометрии, становились всё менее чёткими. Поистине цементным раствором, соединившим прочнейшими связями основания всех областей математики, явилась в XX веке математическая логика. С её помощью был исследован сам процесс доказательства, процесс вывода теорем из аксиом. Тем самым аксиоматический метод получил дальнейшее своё развитие и достиг в определённом смысле вершины. Аксиоматические теории сами стали точными математическими объектами, названными формальными системами, и стали изучаться математическими методами, стала строиться теория также предыдущих высказываний этой последовательности по какому-либо из правил вывода рассматриваемой теории, а последнее высказывание В5 есть утверждение С. Утверждение из множества Г называются гипотезами. В F 0 C 6частном случае, когда Г= , вывод С из Г превращается в доказательство утверждения С, а С становится теоремой аксиоматической теории. Итак, под аксиоматической теории, построенной на основе системы F 0 E 5аксиом , понимается совокупность всех теорем, доказываемых, исходя из этой системы аксиом. Такую совокупность теорем обозначают Т F 0E 5h ( ). Изложенный метод построения математической теории носит название аксиоматического или дедуктивного метода. Выбор системы аксиом есть дело условия: одно и тоже утверждение теории может быть аксиомой, если оно так выбрано, а может выступать в качестве теоремы, если выбор аксиом осуществлён по-иному. Итак, если в обыденной жизни за термином «аксиома» утвердился его изначальный смысл (в переводе с греческого «аксиома» означает «достойный признания), именно смысл самоочевидной, безусловной истины, то в математике, при построении аксиоматических теорий, аксиомы условны. Они «достойны признания» не сами по себе, не ввиду их самоочевидной истинности, а потому что на их основе строится та или иная аксиоматическая теория. При новом выборе системы аксиом прежние аксиомы становятся теоремами. Коротко говоря, аксиомы – это то, из чего выводятся теоремы, а теоремы – то, что выводится из аксиомы. Суть аксиоматического построения математической теории состоит в том, что сначала выбирается ряд первоначальных понятий, который не определяются и используются без объяснения их смысла. Ранее, формулируется ряд первоначальных утверждений. Об этих первоначальных понятиях, которые принимаются без доказательства и которые называются аксиомами. Наконец, исходя из выбранной системы аксиом, доказывают новые утверждения о первоначальных понятиях, а также о понятиях, которые определяются в процессе развития аксиоматической теории. Эти доказываемые утверждения называются теоремами, а совокупность всех теорем, выводимых (доказываемых) из данной системы аксиом, называется аксиоматической теорией, построенной на базе этой системы аксиом. 1.3. Как возникают аксиоматические теории. Можно указать два пути, по которым происходило становление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике. Первый путь состоит в том, что та или иная математическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимает характер аксиоматической теории. Именно таким путём были аксиоматизированы следующие математические теории: арифметика (на основе системы аксиом Дж. Пиано), геометрия (на основе разнообразных систем аксиом, в частности, Д. Гильберта, Г. Вейля, М. Пиери и т.д.), теория вероятностей (аксиоматика А.Н. Колмогорова) и другие. Второй путь возникновения аксиоматических теорий состоит в том, что обнаруживалось глубокое внутреннее сходство между основными чертами, казалось бы, совершенно различных математических теорий. Данное обстоятельство наводило на мысль выделить общие черты и, руководствуясь ими, построить аксиоматическую теорию. На этом пути возникли, по- видимому, все аксиоматические теории и, прежде всего, теории групп, колец, полей и других алгебраических систем, общая или универсальная алгебра и т.д. Здесь появляется прекрасная возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие, а также возможность свободно интерпретировать первоначальные понятия и аксиомы аксиоматической теории, что раскрывает широкие перспективы приложений таких теорий и является одним из мощных источников действенной силы математики как науки вообще. II. ПРИМЕРЫ АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ. Приведём примеры аксиоматических теорий возникших разными путями. Пример1. Теория групп – одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно не мало объектов, обладающих многочисленными общими чертами. Среди них, в частности, множество F1-1(М) всех взаимнооднозначных отображений множества М на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений, множество Z всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел, множество V2 всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через G, а каждую из операций через * (и называя её композицией элементов из G), обнаруживаем, что все три указанные объекта обладают следующими свойствами: G0. Для любых а и в из G F 02 Aкомпозиция а в есть однозначно определённый элемент из G. G1. Для любых а и в и с из G ( F 02 Aа в F 0 2 A) F 0 2 A F 0 2 Aс = а (в с). G2. В G имеется такой элемент е, что для любого а из G F 02 A F 0 2 Aа е = е а = а. G3. Для любого а из G имеется такой а’ из G, F 02 A F 0 2 Aчто а а’ = а’ а = е. Например, элемент е, существование которого утверждается в свойстве G2, в случае F1-1(М) есть тождественное отображение М на М, в случае Z – целое число 0, в случае V2 – нуль вектор. В свойстве G3 элемент а’ есть обратное преобразование f-1, противоположное число –m, противоположный вектор ВА для преобразования f, целого числа m и вектора АВ соответственно. Утверждения G0 — G3 и составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории. Теорема 1. В группе имеется точно один единичный элемент. F 0 C 8 F 0 C 7(А4) х (у z F 0 C 8 F 0 C 7 F 0 C 8) = (х у) (х z). F 0 C 7(А5) х 1 = х. F 0 C 8(А6) х 0 = х. F 0 C 7(А7) х х’ = 0. F 0 C 8(А8) х х’ = 1. Первоначальными понятиями второй теории Т2 являются бинарная F 0 C 7 F 0 E 5операция и унарная операция ‘. Система аксиом 2 этой теории, наоборот, F 0 C 7ассиметрична, «смещена» в сторону операции . F 0 C 7 F 0 C 7(В1) х у = у х. F 0 C 7 F 0 C 7(В2) (х у) z = F 0 C 7 F 0 C 7х (у z). F 0 C 7(В3) х у’ = F 0 C 7 F 0 D Ez z’ F 0 C 7х у = х. F 0 C 7 F 0 D E F 0 C 7(В4) х у = х х у’ = F 0 C 7z z’. Наконец, в третий теории Т3 , в которой первоначальными понятиями F 0 C 7 F 0 C 8являются бинарное отношение С, бинарные операции и , унарная F 0 E 5операция ‘ и нульарные операции 0 и 1, система аксиом 3 следующая: F 0 C C(С1) х х. F 0 C C F 0 C C(С2) х у ^ у z = F 0 C Cх z. F 0 C 8 F 0 C C(С3) х у F 0 D Ez F 0 C Cх z ^ F 0 C Cу z. (С4) F 0C Cz F 0 C 7 F 0 D Eх у F 0 C Cz х ^ F 0 C Cz у. F 0 C 7 F 0 C 8(С5) х (у z F 0 C C F 0 C 7 F 0 C 8 F 0 C 7) (х у) (х z). F 0 C C(С6) х 1. F 0 C C(С7) 0 х. F 0 C C F 0 C 8(С8) 1 х х’. F 0 C 7 F 0 C C(С9) х х’ 0. ЗАКЛЮЧЕНИЕ По результатам проведённого курсового исследования по теме «Аксиоматический метод» можно сделать следующие выводы. Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях – сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории древней науки. У истоков идеи аксиоматического метода стоят титаны древнегреческой мысли Платон, Аристотель, Евклид. Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Хотя математика в наше время и является чрезвычайно обширной наукой знаний, имеющей многочисленные разделы и на первый взгляд разобщённые направления исследования, всё-таки математика – это единая наука. Её предмет исследований множество математических структур, её основной метод – аксиоматический метод. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом, т.е. когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие наук в двадцатом столетии показало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 1.Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пединститутов. — М., «Просвещение» 1975. 2.Игошин В.И. Основания геометрии – Саратов, «Научная книга», 2004. 3.Игошин В.И. Векторная алгебра – Саратов, «Научная книга», 2005. 4.Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории – М., «Просвещение», 1968. 5.Метод аксиоматический – В кн. «Философская энциклопедия», т. 3 – М Сов. Энциклопедия, 1964.