Аксиома теорема лемма гипотеза

Теоремы, гипотезы, аксиомы, доказательства

Давайте рассмотрим пример дедуктивной системы. Возьму что-нибудь не слишком серьезное и не
слишком строгое (ведь это всего лишь пример).

Пусть эта дедуктивная система предназначена для классификации животных. Она должна ответить на вопрос: является ли некий зверь хищником? Применима она только для зверей, а птицы, рыбы и прочие в расчет не берутся. В дедуктивной системе будет две аксиомы:

Аксиома кошки: кошка – хищник.

Аксиома медведя: медведь – хищник.

Еще в этой дедуктивной системе будет два правила вывода:

Правило когтей: если у зверя когти размером, как у хищника или больше, значит этот второй зверь – тоже хищник.

Правило клыков: если у зверя клыки размером, как у хищника или больше, значит этот второй зверь – тоже хищник.

Тут надо уточнить, как мерить когти и клыки, ведь звери по величине разные бывают, и у больших зверей зубы и когти вообще больше. Пусть учитываются относительные размеры – то есть, длина когтя или клыка по сравнению с длиной тела (можно в процентах). А длина тела меряется по тушке: от носа до задницы (хвост не в счет).

У собаки когти примерно такие же, как у кошки. Значит, собака – тоже хищник по правилу когтей. Получилась новая доказанная формула, которой нет среди аксиом.

Формулы, которые удается доказать с помощью правил вывода, но которых нет среди аксиом, называются «теоремами».

Теорема собаки: собака – хищник.

А что насчет лисы? Я никогда не видел лисьих когтей, так что правило когтей мне не поможет. Зато я помню, какие у лисы клыки. Они примерно такие же, как у собаки. Но собака – хищник (это доказано только что). Значит, лисица – тоже хищник.

Теорема лисицы: лисица – хищник.

Доказательство новой теоремы заняло всего два шага:

1. Из аксиомы кошки получена теорема собаки по правилу когтей.
2. Из теоремы собаки получена теорема лисицы по правилу клыков.

Пункты 1 и 2 – это как раз те шаги, которые называют “дедуктивными переходами”, “шагами дедукции”, “шагами вывода”. Два шага в целом образуют «доказательство». Вообще «доказательство» в дедуктивном методе – это произвольный набор шагов дедукции. Обычно все эти шаги делаются ради самой последней формулы-теоремы. Тогда все доказательство называют доказательством этой теоремы. Вот те два шага – это доказательство теоремы лисицы.

Есть еще такое понятие как «вывод». Оно многозначное. С одной стороны, вывод – это доказательство. С другой стороны, вывод – это последняя доказанная теорема. С третьей стороны вывод – это сам процесс построения доказательства шаг за шагом.

У муравьеда когти больше, чем у волка. Тогда по правилу когтей получается, что муравьед – хищник. Но это неправда. У бегемота клыки больше, чем у льва. Тогда по правилу клыков получается, что бегемот – хищник. И это тоже неправда. Выходит, приведенная дедуктивная система не всегда дает верный результат. В ней правильные аксиомы, а вот правила вывода – подкачали. Значит, приведенная дедуктивная система требует улучшения. Можете попробовать это сделать в качестве упражнения.

Были рассмотрены примеры аксиом и теорем. Аксиомы – это формулы, которые считаются доказанными с самого начала. Теоремы – это формулы, которые доказываются с помощью правил вывода. Есть еще один тип формул, занимающих промежуточное положение. Это – гипотезы.

Гипотеза – это формула, которая считается доказанной, но не с самого начала, а в течение какого-то времени. Фактически, гипотеза становится на какое-то время чем-то вроде дополнительной аксиомы.

Зачем это надо? Для самых разных целей. Например, хочется посмотреть, а что было бы, если бы вот эта формула считалась доказанной? Какие следствия из этого получатся? Иногда гипотеза может применяться для доказательства новой теоремы. Таков метод «от противного». Иногда – для того, чтобы получить «заготовку», кусочек для будущего доказательства.

Например, примем гипотезу, что корова – хищник. Но клыки у нее маленькие, тогда и коза окажется хищником. Что получается? Я не могу доказать, что корова – хищник. Но я могу сказать, что если бы мне удалось доказать, что корова – хищник, то мне удалось бы потом доказать и то, что коза – хищник. Такие «гипотетические» рассуждения в некоторых случаях оказываются полезными.

Подведу итог. В дедуктивных системах существуют четыре класса формул.
1. Аксиомы – это формулы, которые считаются доказанными с самого начала.
2. Гипотезы – это формулы, которые полагаются доказанными на какое-то время.
3. Теоремы – это формулы, которые доказываются с помощью правил вывода.
4. И прочие недоказанные формулы.

Обновлено: 31.03.2023

Аксиома — это утверждение, которое считается истинным, основанное на логике; однако он не может быть доказан или продемонстрирован, потому что он просто считается само собой разумеющимся. В принципе, все, что объявлено истинным и принятым, но не имеет доказательств или имеет некоторый практический способ доказать это, является аксиомой. Его иногда называют постулатом или предположением.

Основой аксиомы для его истины часто не учитывается. Это просто так, и нет необходимости обсуждать дальше. Тем не менее, многие аксиомы по-прежнему бросают вызов различным умом, и только время покажет, являются ли они сумасшествиями или гениями.

Аксиомы могут быть классифицированы как логические или нелогичные. Логические аксиомы являются общепринятыми и действительными операторами, в то время как нелогичные аксиомы обычно являются логическими выражениями, используемыми при построении математических теорий.

Гораздо легче выделить аксиому в математике. Аксиома часто является утверждением, которое считается истинным ради выражения логической последовательности. Они являются основными строительными блоками доказательств. Аксиомы служат отправной точкой для других математических утверждений. Эти утверждения, полученные из аксиом, называются теоремами.

Теорема, по определению, является доказательством, основанным на аксиомах, других теоремах и некотором множестве логических связок. Теоремы часто подтверждаются строгими математическими и логическими рассуждениями, и процесс к доказательству, конечно, будет включать в себя одну или несколько аксиом и другие утверждения, которые уже признаны истинными.

Теоремы часто выражаются как производные, и эти дифференцирования считаются доказательством выражения. Две составляющие доказательства теоремы называются гипотезой и заключением. Следует отметить, что теоремы чаще всего оспариваются, чем аксиомы, поскольку они подвержены большему количеству интерпретаций и различным методам деривации.

Нетрудно рассмотреть некоторые теоремы как аксиомы, так как существуют другие утверждения, которые интуитивно считаются истинными. Однако они более адекватно рассматриваются как теоремы, из-за того, что они могут быть получены с помощью принципов дедукции.

1. Аксиома — это утверждение, которое считается истинным без каких-либо доказательств, в то время как теория должна быть доказана до того, как она будет считаться истинной или ложной.

2. Аксиома часто самоочевидна, в то время как теории часто потребуются другие утверждения, такие как другие теории и аксиомы, чтобы стать действительными.

3. Теоремы естественно оспариваются больше, чем аксиомы.

4. В принципе, теоремы производятся из аксиом и набора логических связок.

5. Аксиомы являются основными строительными блоками логических или математических утверждений, поскольку они служат отправными точками теорем.

6. Аксиомы могут быть классифицированы как логические или нелогичные.

7. Две компоненты доказательства теоремы называются гипотезой и заключением.

В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения) . Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.

Аксиома – это предложение, принимаемое без доказательства, в силу непосредственной его убедительности (для его доказательства нет исходного материала) , но проверенное многочисленными экспериментами, опытами, временем, и поэтому является неоспоримой истиной, не требующей доказательств.
Теорема, в отличие от аксиомы, это — предложение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем логических умозаключений (т. е. доказательства) .

набор аксиом — это некоторая база, набор постулатов, которые воспринимаются на веру и ни у кого не вызывают сомнений, первые теоремы доказываются сведением к одной или нескольким аксиомам, дальнейшие теоремы доказываются с опорой на ранее доказанные

Совершенно верно!
Аксиома доказывается и в плюс, и в минус, и в п. ду, и в Красную Армию, и вообще во всё, что только можно придумать.

Чтобы щелкать задачки по геометрии, важно рассуждать логически. Это качество поможет быстрее запомнить все правила и перейти к решению задач и доказательствам. В этой статье узнаем про аксиомы, теоремы и доказательства теорем.

О чем эта статья:

Понятие аксиомы

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

1. Через любые две точки проходит единственная прямая.
2. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки. А точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.
3. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
4. Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков — равны.
5. Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, который соединяет эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.
6. От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, который равен данному. Все развернутые углы равны.
7. Углы равны, если они получились путем сложения или вычитания соответственно равных углов.

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

• если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
• если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

• Синтетический или синтез — метод, при котором данное предложение выступает, как необходимое следствие другого, уже доказанного.
• Аналитический или анализ — обратный синтезу способ. Рассуждения всегда начинаются с доказываемой теоремы и закачиваются другой известной истиной.

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

• Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.
• Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
• Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

• прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
• обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

• Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
• Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
• Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
• Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.

Чтобы лучше понять сказанное, нарисуем наглядный рисунок, где прямая a пересекает точки A и B .

Казалось бы, очевидно, если попытаться провести еще одну прямую b через точки A и B , она совпадет с прямой a .

Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?

Важно!

Дело в том, что утверждение, которое в своем доказательстве
не опирается на выстроенную логическую цепочку доказательств, нельзя считать доказанным .

Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.

Нам остается, только принять их на веру без доказательств . Иначе мы не сможем доказывать следующие утверждения, чтобы двигаться дальше.

Что такое аксиома

Запомните!

Аксиома — утверждение , которое не требует доказательств.

С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.

Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:

• через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
• через точку, не лежащую на данной прямой, проходим только одна прямая, параллельная данной;
• если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки;
• любая фигура равна самой себе.

Что такое теорема

Запомните!

Теорема — утверждение , которое требует доказательства.

Примеры формулировок теорем:

• сумма углов треугольника равна 180 градусов;
• площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон;
• теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Важно!

Формулировки аксиом и теорем необходимо учить строго наизусть
без искажений .

Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.

Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.

Что такое лемма

Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Запомните!

Лемма — это вспомогательная теорема , с помощью которой доказываются другие теоремы.

• если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Что такое следствие в геометрии

Запомните!

Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать .

Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

• если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
• если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.

Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.

Читайте также:

  

• Какие цели преследует учебное проектирование технология 8 класс кратко

  

• Мальчик ударил девочку в школе как разрулить конфликт

  

• Стратегические и тактические планы в системе менеджмента кратко

  

• Какой монастырь основал сергий радонежский 4 класс кратко

  

• Пенсильвания штат краеугольного камня почему кратко

Доказать можно (на основе других аксиом). Но не доказывают.

Не доказанное и не опровергнутое. Но либо истина, либо ложь (хотя это и не известно).

Если теорема — это истинное доказанное утверждение, то теория является истиной. Правда, в состав теории входят ещё и определения.

Добавлено через 2 минуты
В рамках формальных математических теорий всё это строго определяется. Посмотрите: Столл, Множества. Логика. Аксиоматические теории.

Ещё в механике и логике есть теоремы. Всё таки логику можно считать самостоятельной наукой (хотя и использующей методы математики), если отбросить математический шовинизм.

Жаль, что уважаемый Урикоп не привел свой ролик из этого ответа

Я над ним долго хохотала. Разослала всем своим знакомым и решила, что на таком вопросе как ваш ему тоже самое место.

Я подумала, что вероятно такие вопросы насчет того, что же такое дважды два, возникают у не потерявших разум людей, как раз после просмотра этого ролика.

Как видите,число 22(двадцать два, если кто не понял) — это тоже ответ, причем политически толерантный.

Ну а что это такое можно в качестве шутки порешать методом от противного.

Я не математик, но все-таки заканчивала не церковно-приходскую школу. Поэтому разберем по порядку.

Аксиома:

Исходя из определения, это не аксиома, т.к. доказательства есть-наш непосредственный опыт многократного сложения.

Гипотеза:

Не подходит, т.к. это не вероятностное предположение, а установленный факт.

Далее у нас по списку доказанная теорема:

Увы, мы не выводили данного утверждения на основании каких-то аксиом, а просто двукратно сложили два (предмета, камушка, счетных палочки или пальца), рассмотрев свой результат.

И, наконец закон:

Если подходить к Закону не как к формальному уложению, провозглашенному на всех перекрестках, а именно с точки зрения философского определения данного понятия, тогда мы смело можем считать всю таблицу умножения своего рода законом. Т.к. после того, когда древние люди(уж египтяне или финикийцы или кто еще) сосчитали все свои камушки многократного сложения и начали вдалбливать готовый результат этих опытов в головы всех последующих нерадивых поколений, таблица умножения стала законом.

А строка 2х2=4 стала строкой из этого закона. «Закон есть закон», — как сказали несчастному Фердинанду в старом одноименном фильме.

Научное знание
представляет собой чрезвычайно сложное
и разнородное образование. Оно включает
в себя находящиеся в многообразных
отношениях друг с другом уровни (главными
из которых являются уровни эмпирического
и теоретического знания) и формы. В
качестве основных форм научного знания
обычно указывают проблемы,
гипотезы, теории,
факты, законы, принципы, идеи, аксиомы,
теоремы, эмпирические обобщения,
концепции,
частнонаучную
и общенаучную картины мира.

Кратко охарактеризуем
некоторые из этих форм научного знания.

Научная проблема

Итак, научная
проблема (от
греческого – преграда, трудность,
задача) представляет собой вопрос или
совокупность вопросов, совокупность
исследовательских задач, которые
формулирует субъект научно-исследовательской
деятельности относительно изучаемого
им предмета. При этом в зависимости от
ранга проблемы для её решения либо
необходимо творческое применение уже
имеющихся в данной науке теорий
(концепций) и методов, либо требуется
разработка новых теоретических
(концептуальных) конструкций и новых
методов научного познания.

Действительная
научная проблема, в отличие от
псевдопроблемы,
должна быть теоретически и (или)
практически значимой.

Огромное количество
научных проблем возникает после того,
как сформируется новая научная теория
и её начинают применять для описания и
объяснения всё новых процессов и систем
соответствующей предметной области.

Ситуация,
когда существует необходимость
теоретического объяснения фактов,
называется научной проблемой.

Гипотеза как
форма научного знания

Существенную роль
в решении научных проблем играет такая
форма научного знания, как гипотеза
(от греч. Hipothesis
– основание, предположение). Гипотеза
– это предположение, с помощью которого
субъект познания стремиться либо
разрешить противоречия, породившие
научную проблему, либо объяснить явления,
не объяснимые на основе уже имеющихся
теоретических конструкций. Гипотеза
определяет дальнейший ход исследовательской
деятельности: направление теоретических
изысканий, а также характер наблюдений
и экспериментов. Гипотеза, по сути своей,
является формой предположительного,
вероятного знания. Развиваясь, гипотеза
либо через различные формы подтверждения
превращается в достоверное знание (в
частности, в научную теорию), либо
теоретически и (или) эмпирически
опровергается. И в том, и в другом случае
она прекращает своё существование в
качестве гипотезы. Впрочем, век некоторых
гипотез достаточно долог.

Идея.

Первым
шагом на пути решения проблемы является
идея как
некоторая в общем, абстрактном виде
догадка о сущности происходящих явлений.
В этом смысле она – отражение сущности.
В логическом плане идея является исходным
понятием для систематизации знания и
характеризует процесс построения
теории. Идея – основополагающее понятие
для всех других, составляющих вместе с
ней теорию.

Идея
отличается от эмпирических понятий
тем, что эмпирические понятия носят
абстрактный характер и остаются таковыми,
потому что они отражают только явления.
Исходя из них, нельзя понять предмет во
всей сложности его отношений. Логический
механизм формирования идеи состоит из
сравнения, абстрагирования, обобщения
как моментов категориального синтеза.
Категориальный синтез есть средство
выведения из эмпирического знания идеи.

Научные факты

Важнейшая роль в
составе научного знания принадлежит
фактам. Факт (от латинского factum
– сделанное, совершившееся) даже в
обыденном словоупотреблении понимается
двойственно. С одной стороны, факт –
это сами реальные, действительные
события, происшествия, явления. Так
понимаемые факты противостоят фантазиям,
вымыслам, иллюзиям, предположениям. С
другой стороны, факт
– это особая форма знания, фиксирующая,
действительные, реальные происшествия,
события, явления. Для нас сейчас важное
понимание факта именно как специфической
формы знания. Конкретнее, нас интересуют
научные факты, то есть зафиксированные
в языке науки знание о действительных
событиях, связях, свойствах изучаемых
соответствующей наукой систем.

Законы науки

Среди основных
признаков, отличающих научное знание
от ненаучного, мы указали на то
обстоятельство, что научное знание,
научная теория, как правило, формируют
законы.
Закон
чаще всего понимается в философии именно
как устойчивая, существенная связь
между системами, между различными
свойствами, сторонами и т. п. изучаемой
системы. В качестве примера законов,
понимаемых здесь как форма научного
знания, можно указать закон всемирного
тяготения, установленный И. Ньютоном,

В любом случае
законы науки фиксируют некоторое
единообразие систем (или процессов)
определённого типа, они фиксируют
повторяющиеся, воспроизводящиеся
стороны их бытия, устойчивые их
процессуальности. Поэтому формулировка
законов является одним из оснований
научного прогнозирования.

Идея

ИДЕЯ
(греч. idea), форма постижения в мысли
явлений объективной реальности,
включающая в себя сознание цели и
проекции дальнейшего познания и прак-тич.
преобразования мира. Понятие И. было
выдвинуто ещё в античности. Демокрит
называл И., неделимыми умопостигаемыми
формами, атомы; для Платона И.- это
идеальные сущности, лишённые телесности
и являющиеся подлинно объективной
реальностью, находящейся вне конкретных
вещей и явлений; они составляют особый
идеальный мир.

В науке И. выполняют
различную роль. Они не только подытоживают
опыт предшествующего развития знания
в той или иной области, но служат основой,
синтезирующей знание в некую целостную
систему, выполняют роль активных
эвристич. принципов объяснения явлений,
поисков новых путей решения проблемы.
В зависимости от своего содержания И.,
отражающие обществ, быт, различно влияют
на ход социальной жизни людей. Реакц.
И., искажающие действительность и
служащие уходящим с историч. арены
классам, выступают тормозом обществ,
прогресса. И., верно и глубоко отражающие
процессы действительности, выражающие
интересы передовых обществ, классов,
ускоряют социальный процесс, организуют,
мобилизуют эти классы на свержение
отжившего и установление нового,
прогрессивного.

Аксиома

Аксиома – предложение,
не требующее доказательства, характеризуется
интуитивной ясностью, понятностью, она
формулируется из предшествующего опыта
познания. На основе аксиом формулируются
и доказываются теоремы. Чтобы осуществить
метод аксиоматизации, нужно чтобы были
сформулированы аксиомы.

Теорема

Теорема –
предположение, требующее доказательства.

Эмпирическое
обобщение

Этот термин взят
из трудов Вернадского, для науки
характерен постоянный эмпирический
опытный фундамент опоры на эксперимент,
Наука стремиться обобщать, осмысливать
опыт. Очень важное место занимает
первоначальное обобщение – эмпирическое
обобщение.
На фундаменте эмпирических обобщений
формулируются пробные теории, а в
последствии зрелые теории.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Доказательство через синтез

Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.

Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство:

Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.

Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.

Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.

Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.

Доказательство через анализ

Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.

Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.

Дан параллелограмм: ABCD.

Доказательство:

Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.

Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.

Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол напротив стороны а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник

Аксиома и константа в чем разница

Войти

Авторизуясь в LiveJournal с помощью стороннего сервиса вы принимаете условия Пользовательского соглашения LiveJournal

Разница между догматом и аксиомой

Часто встречается заблуждение, будто аксиома в науке – это аналог догмата в религии. На этой основе делаются ложные выводы, будто «наука догматична» или «религия – аксиоматическая система». А это подталкивает к мысли, будто религия, в сущности, ничем от науки не отличается. Даже в статье «Догмат» в Википедии после ссылки на статью «Аксиома» стояло примечание «аналог в науке».

Но аксиома в науке не является аналогом догмата в религии. И даже из текста той же статьи это следует (к тому же содержащего противоречия).

1) Аксиомы в науке принимаются людьми, а не даются каким-то всезнающим богом. А одно из свойств догмата, согласно статье, – богооткровенность. «Это означает, что догматы не выводятся логическим путём, а происходят из Божественного Откровения, то есть даются человеку Самим Богом».

2) Для того, чтобы ввести какую-то аксиому и чтобы считать это аксиомой, не требуется одобрение какого-то «вселенского научного собора».

3) Аксиомы не являются обязательными. В той или иной науке могут сосуществовать множество различных теорий, в основу которых положены разные аксиомы и постулаты. Хорошим примером являются евклидова и неевклидовы геометрии. При этом никто не будет обвинять авторов альтернативных аксиом в ереси и жечь на кострах, как Мигеля Сервета. Аксиомы в науке не служат для искоренения альтернативных теорий («ересей») и для установления преград альтернативным точкам зрения.

В статье же религиозные догматы описываются как «неизменное и непререкаемое положение веры» или «неоспоримое и обязательное положение православного вероучения».

«Каждый догмат устанавливал как бы преграду дальнейшему развитию еретического учения, отсекал ложные направления в развитии понимания учения Церкви».

«Догмат в своей сущности неизменен, он содержит богооткровенную истину, данную Самим Богом, и именно поэтому его нельзя изменять по воле человеческого разума».

Все эти свойства, особенно последнее, принципиально отличают религиозный догмат от аксиомы или постулата в науке.

(К слову, это противоречит тому, что говорится в этой же статье ниже: «Догмат — не закостенелое, мёртвое, безосновательное утверждение».)

Аксиомы не только не являются общеобязательными для разных учёных, занимающихся данной областью, но даже не являются обязательными для одного человека. Поскольку аксиомы вовсе не считаются абсолютной истиной, то даже в уме одного человека могут сосуществовать разные представления об устройстве мира, в основу которых положены разные постулаты или аксиомы, и он вовсе не обязан считать только какое-то одно из них истинным.

4) Аксиомы проверяемы и могут быть изменены. Применимость той или иной аксиомы или системы аксиом и построенной на их базе теории можно проверить, сравнивая следствия из этих аксиом с данными опыта. Аксиомы служат базой для построения теории, но учёные всегда готовы пересмотреть их или отбросить как ошибочные и заменить другими. Догматы же непроверяемы и неизменны. Догматы считаются абсолютной истиной, а аксиомы – нет.

(Вообще говоря, это два разных отличия между догматами и аксиомами – проверяемость и изменяемость – и их можно было бы разбить на два отдельных пункта. Но, поскольку эти два свойства тесно связаны друг с другом, то они объединены в один пункт.)

Математические теории в принципе не обязаны соответствовать опыту, их состоятельность определяется только внутренней непротиворечивостью и логической согласованностью. Но в опыте можно проверить, применима ли эта система аксиом и вытекающая из неё теория к реальному миру или нет, описывает она его или нет. И если описывает, то в каких пределах это описание верно. То же самое касается и постулатов естественных наук.

Но можно проверять аксиомы и более объективно. Например, в применимости к реальному миру аксиомы о том, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну, можно убедиться, рисуя параллельные прямые на плоской поверхности. Конечно, тут будут ограничения, связанные с неидеальностью инструментов, поверхности и т.д., но это неизбежно в изучении реального мира. Если будут найдены отклонения от этой аксиомы, которые нельзя объяснить погрешностями приборов, то аксиому следует заменить другой. Если таких значимых отклонений обнаружено не будет, то аксиому можно считать применимой к реальному миру.

Либо можно проверять аксиомы не непосредственно, а подтверждением в опыте вытекающих из них следствий. Если опыт их опровергнет, то и аксиомы будут заменены другими (например, даже очевидные в относительно небольших пространственных масштабах аксиомы евклидовой геометрии могут оказаться неприменимыми в больших масштабах, если это покажет опыт).

Среди аксиом геометрии есть примеры аксиом, область применения которых была ограничена. Например, после создания общей теории относительности стало считаться, что гравитация – это проявление искривления пространства-времени, которое приобретает кривизну и становится неевклидовым. Далее, сейчас идут споры о том, является ли пространство Вселенной евклидовым в больших масштабах или нет. Если нет, то оно описывается системой аксиом одной из неевклидовых геометрий. Следовательно, аксиомы евклидовой геометрии нарушаются. Но от них не отказываются полностью, они по-прежнему с неплохой точностью описывают пространство-время в не слишком больших масштабах и в не слишком сильных гравитационных полях. Но никто уже не считает их абсолютными истинами.

Строго говоря, в естественных науках любой закон, любая система уравнений, лежащая в основе того или иного раздела физики, может считаться постулатом, который считается истинным, потому что до сих пор его следствия выполняются в опыте. Тогда примером «отвергнутой» аксиомы может служить любая система основных законов физики, лежащих в фундаменте той или иной теории. Например, система законов Ньютона. В 17–19 веках она считалась неоспоримой истиной, а сейчас уже ясно, что их применимость ограничена, и на самом деле, движение тел не подчиняется законам Ньютона. Но в области макроскопических тел, при не слишком больших скоростях и в не слишком сильных гравитационных полях система законов Ньютона является хорошим приближением для описания движения тел.

Религиозные догматы же нельзя никак проверить. И уж конечно они не очевидны. Например, как можно проверить следующие догматы?

• «Догмат о Сыне Божием, прежде начала времени рожденного от Бога Отца, имеющего с Ним одинаковую сущность, всё сотворившего и получившего имя Иисуса Христа».
• «Догмат о двух волях и действиях в Господе нашем в Иисусе Христе».
• «Догмат о том, что Бог есть Дух всеблагой, всесвятой, всесовершенный, всемогущий, всеведедущий, вездесущий, беспредельный, неизменяемый, вечный».
• «Догмат о различии в Боге сущности и энергии, представляющей собой нетварную божественную благодать».

И напомним ещё раз, что догматы определяются как «неизменное и непререкаемое положение веры» и «неоспоримое и обязательное положение православного вероучения».

5) В принципе, вышесказанное подтверждается и утверждениями из той же статьи в Википедии: «Догмат ненаучен [примечание: В том смысле, что его нельзя ни доказать, ни опровергнуть]. Он не обязан вписываться в логические рамки. Это предмет веры и, как правило, он содержит алогические элементы».

И чуть выше: «Догмат нельзя уяснить логическим, рассудочным путём. Он требует святоотеческого толкования. Простое знание догматической формулы ещё не означает проникновение в суть содержащейся в догмате истины».

Это также отличает догмат от аксиомы в науке.

Поэтому подмена понятий «аксиома» и «догмат» друг другом – это нарушение первого закона логики, закона тождества.

Источник

Аксиома и константа в чем разница

Чем теорема отличается от аксиомы? И мне вопросик теорема вопросик аксиома

Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα — «зрелище, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). В отличие от теорем, аксиомами называются утверждения, которые в рамках конкретной теории принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований.

В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постула́т — исходное положение какой-либо теории, не доказываемое в рамках данной теории и лежащее в основе доказательства других ее положений.[1] В современной науке аксиомы — это те положения теории, которые принимаются за исходные, причём вопрос об истинности решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории.[1] Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами. С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии. Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» для построения теорий в любой науке, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта) или обосновываются в более глубокой теории. Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система) начиная с определённого уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, истинность и ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы).[2]

Прочитайте и сами сделайте вывод

Юлия Сергеевна, я точно не помню. Там чего-то без доказательств, а к чему-то доказательство нужно. Или там где-то что-то однозначно, а что-то под сомнение ставится.

Если коротко,то. Теорема-утверждение,для которого требуется доказательство.Оксиома-не требует доказательства.

Аксиома принимается без доказательств, а теорему устанешь доказывать

Аксиома, в отличие то теоремы, не требует доказательств

Источник

Аксиома выбора и принципиальные ограничения человеческого разума

На мой взгляд, у философии должен быть конкретный объект рассмотрения: бесконечности в теории множеств, трансфинитные числа, теории и доказуемость, гипотеза математической вселенной Макса Тегмарка. И тогда есть реальный прогресс (например, теорема Геделя), а слова просто облегают каркас, задаваемый конкретикой. Иначе получается попытка построить конструкцию из жидкой манной каши, какой-то интеллектуальный онанизм.

Георг Кантор, положивший начало теории множеств и открывший разницу типов мощностей (по-английски cardinalities), на мой взгляд, куда больший философ, чем Кант и Гегель. Вы можете не вынимать ложечку из чашки кофе, когда пьете его и съедать яблоко с огрызком, но знать отличие счетного множества от континуума обязаны, если вы связаны с IT или любой технической сферой.

Если одно из этих множеств содержит только один элемент, то он всегда и будет выбираться и работать как крючок, «выуживая» из второго множества элементы. Если после каждого такого акта выбора мы будем выбранные элементы изымать, то с помощью данной процедуры мы можем разобрать любое множество по элементам.

Парадоксы Аксиомы Выбора

Как ни странно, «чистая» теория множеств не утверждает, что любое множество можно «разобрать на части». Она утверждает, что для любого множества можно проверить, содержится ли некий элемент в нем или нет (отношение ). Интуитивно ясно, что конечное или счетное множество (например, множество натуральных чисел) можно разобрать на элементы. Для континуума это уже совсем не очевидно.

Разумеется, многим математикам такое поведение Аксиомы Выбора пришлось не по вкусу. Так как математики творцы своих собственных миров, они могут делать все, что захотят. Самым очевидным было ограничить работу AC только счетными множествами, где все очевидно. Но это связывало руки тем, кто работал с вещественными числами, а топологию просто убивало. Поэтому есть целый ряд «ослабленных» вариантов AC (например, Аксиома Зависимого Выбора), или альтернативных вариантов, например, Аксиома Детерминизма.

Например, пусть у нас есть континуум вещественных чисел [0,1]. Уберем из него все числа, которые мы можем определить строкой, например, ‘0.324443’, ‘1/3’, ‘1/pi’ (pi лучше определить через бесконечные ряды), ‘min корень уравнения. ‘ (причем в последнем случае не важно, умеем ли мы это уравнение решать). Важно что число строк счетно, а вещественных чисел больше, так что в итоге останется странное множество. В нем еще осталось почти столько же элементов, сколько и было, но ни один элемент нельзя привести в качестве примера. Ведь чтобы привести пример, его надо уметь записать строкой, а все такие числа вырезаны!

Структура чудовищ, таким образом, представляется такой:

Сложные инопланетяне

В теплых ламповых фильмах инопланетян изображают так:

То есть со всеми людскими чертами с небольшими изменениями. Инопланетяне даже говорят по-английски! Это, конечно, очень мило, но крайне упрощено. Тут попытка более серьезна:

Однако, попытаемся смастерить более продвинутых инопланетян. Итак, что мы можем сказать о человеке?

наш мозг содержит конечное количество информации

наши сообщения, слова, фразы, тоже передают конечное количество информации

это позволяет выбирать элементы из бесконечных но счетных множеств

Аксиома выбора для счетных множеств нам кажется очевидной

Мы живем в пространстве времени, которое континуум ( )

их мозг содержит бесконечное, но счетное количество информации

их сообщения тоже передают бесконечное счетное количество информации. Например, одно слово может содержать вещественное число с бесконечной точностью со всеми его цифрами после запятой

это позволяет выбирать элементы из континуума

Аксиома выбора для континуума им кажется очевидной

Парадокс Банаха Тарского им не кажется парадоксом. Идея им интуитивно понятна, хотя пример они по прежнему привести не могут.

Эти существа существуют в мире, где пространство/время по крайней мере

Наше пространство время (континуум) слишком бедно, чтобы вместить таких существ. Поэтому мы не могли бы с ними встретиться. Но они, безусловно, существуют, так как, согласно Математической Гипотезе Тегмарка, все математические миры всегда реализуются. И если наш мир с континуумом пространства времени и несколькими страницами формул, определяющих физические законы, дал возможность существования существ с сознанием, то невозможно представить, что существа с более высоким типом сознания не существуют в более ‘богатых’ мирах.

Cognitive Closure

Извините, не знаю, как это будет по-русски. Почитать можно здесь. Явления мира ‘продвинутых инопланетян’ выше являются для нас трансцендентными. Тем не менее, если мы не можем их понять, то мы можем хотя бы как то их описать или предложить упрощенные модели. Однако ситуация может быть еще хуже. Возможно, есть концепции, к которым мы вообще не можем прикоснуться.

Один из кандидатов является проблема сознания. Напомню диспозицию, существует ряд подходов к проблеме:

Материазизм или физикализм, он же функционализм, воззрение, что сознание ‘как то’ возникает из работы мозга (и, возможно, других сложных систем). Выглядят научно, но проблема со словом ‘как то’, потому что прогресс за сотни лет нулевой

Отрицание существование сознания в принципе (упертый старик Деннетт)

Источник