В данной публикации мы рассмотрим, что из себя представляют аксиомы, теоремы и следствия. Определения сопровождаются соответствующими примерами для лучшего понимания.
- Что такое аксиома
- Что такое теорема
- Что такое следствие
Что такое аксиома
Для того, чтобы решить многие математические задачи, очень часто требуется выполнить определенные логические действия, благодаря которым удается получить то или иное решение/доказательство.
Но есть в математике такие утверждения, которые не требуют никаких доказательств.
Например:
- Через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
- Через любые две точки можно провести прямую, притом только одну.
- Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
- Любая фигура равна самой себе.
Эти и другие подобные утверждения, не нуждающиеся в доказательстве и принимаемые в качестве исходных в какой-либо теории, называются аксиомами (от древнегреческого “axioma”, что означает “положение”, “утверждение”). Иногда их еще называются постулатами.
Аксиомы могут использоваться для решения конкретных задач или применяться для доказательства теорем.
Примечание: не допускается искажение формулировок аксиом и большинства теорем, т.е. их нужно учить наизусть.
Что такое теорема
В отличие от аксиомы, теорема – это суждение, которе требуется доказать. Т.е. в рассматриваемой теории для нее есть определенное доказательство.
Например:
- Теорема Пифагора
- Теорема о сумме углов треугольника (равна 180 градусам)
- Теорема о внешнем угле треугольника
- Теорема о трех перпендикулярах
Есть отдельный вид так называемых вспомогательных теорем, которые сами по себе не полезны и используются только для доказательства других теорем. Их называются леммами (от древнегреческого “lemma”, что означает “предположение”).
Например:
Если произведение нескольких сомножителей делится на простое число p, то по крайней мере один из сомножителей делится на p (лемма Евклида).
Что такое следствие
Следствие – это утверждение, которое было выведено из аксиомы или теоремы. И оно, также, требуется доказательства.
Например:
- Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
- Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи
или выводим новые доказательства.
Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь.
Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».
Чтобы лучше понять сказанное, нарисуем наглядный рисунок, где прямая a пересекает точки
A и B.
Казалось бы, очевидно, если попытаться провести еще одну прямую b через точки
A и B, она совпадет с прямой a.
Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?
Важно!
Дело в том, что утверждение, которое в своем доказательстве
не опирается на выстроенную логическую цепочку
доказательств, нельзя считать
доказанным.
Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только
потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.
В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь
утверждение с помощью рассуждений».
Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то
очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.
Нам остается, только принять их на веру без доказательств.
Иначе мы не сможем доказывать следующие утверждения, чтобы двигаться дальше.
Что такое аксиома
Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.
Запомните!
Аксиома —
утверждение, которое не требует доказательств.
С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку.
Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.
Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом.
В школьном курсе используются далеко не все.
Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас.
Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:
- через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
- через точку, не лежащую на данной прямой, проходим только одна прямая, параллельная данной;
- если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки;
- любая фигура равна самой себе.
Что такое теорема
Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит
от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.
Запомните!
Теорема — утверждение,
которое требует доказательства.
Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно,
как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.
Примеры формулировок теорем:
- сумма углов треугольника равна 180 градусов;
- площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон;
- теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Важно!
Формулировки аксиом и теорем необходимо учить строго наизусть
без искажений.
Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения.
Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.
Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят
никаких словесных изменений.
Что такое лемма
Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач.
Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.
Запомните!
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы.
Пример леммы:
- если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Что такое следствие в геометрии
Запомните!
Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы.
Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
- если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
- если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:
- аксиомы — фундамент дома;
- теоремы — основные кирпичи дома;
- леммы и следствия — вспомогательные кирпичи для упрочнения конструкции.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы.
Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.
Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Доказательство через синтез
Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.
Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство:
Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.
Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Доказательство через анализ
Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.
Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Дан параллелограмм: ABCD.
Доказательство:
Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.
Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.
Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол напротив стороны а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Источник
Что такое аксиома, теорема, следствие
В данной публикации мы рассмотрим, что из себя представляют аксиомы, теоремы и следствия. Определения сопровождаются соответствующими примерами для лучшего понимания.
Что такое аксиома
Для того, чтобы решить многие математические задачи, очень часто требуется выполнить определенные логические действия, благодаря которым удается получить то или иное решение/доказательство.
Но есть в математике такие утверждения, которые не требуют никаких доказательств.
Например:
Эти и другие подобные утверждения, не нуждающиеся в доказательстве и принимаемые в качестве исходных в какой-либо теории, называются аксиомами (от древнегреческого “axioma”, что означает “положение”, “утверждение”). Иногда их еще называются постулатами.
Аксиомы могут использоваться для решения конкретных задач или применяться для доказательства теорем.
Примечание: не допускается искажение формулировок аксиом и большинства теорем, т.е. их нужно учить наизусть.
Что такое теорема
В отличие от аксиомы, теорема – это суждение, которе требуется доказать. Т.е. в рассматриваемой теории для нее есть определенное доказательство.
Например:
Есть отдельный вид так называемых вспомогательных теорем, которые сами по себе не полезны и используются только для доказательства других теорем. Их называются леммами (от древнегреческого “lemma”, что означает “предположение”).
Например:
Если произведение нескольких сомножителей делится на простое число p, то по крайней мере один из сомножителей делится на p (лемма Евклида).
Что такое следствие
Следствие – это утверждение, которое было выведено из аксиомы или теоремы. И оно, также, требуется доказательства.
Например:
Источник
Что такое аксиома и теорема
Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.
Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».
Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?
Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.
В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».
Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.
Что такое аксиома
Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.
С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.
Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:
Что такое теорема
Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.
Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.
Примеры формулировок теорем:
Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.
Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.
Что такое лемма
Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.
Что такое следствие в геометрии
Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.
Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.
Источник
Теоремы, аксиомы, определения
Доказательство. Теорема. Аксиома.
Начальные понятия. Определение.
Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство.
Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. Теоремы называются также леммами, свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями. Доказывая теорему, мы основываемся на ранее установленных свойствах; некоторые их них также являются теоремами. Однако некоторые свойства рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательств.
Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства. Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом различными способами. Однако важно, чтобы принятый набор аксиом был минимальным и достаточным для доказательства всех остальных геометрических свойств. Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы должны будем доказывать заменённую аксиому, так как она теперь уже не аксиома, а теорема.
Начальные понятия. В геометрии ( и вообще, в математике ) существуют понятия, которым невозможно дать сколько-нибудь осмысленное определение. Мы их принимаем как начальные понятия. Смысл этих понятий может быть установлен только на основании опыта. Так, понятия точки и прямой линии являются начальными. На основе начальных понятий мы можем дать определения всем остальным понятиям.
Источник
Теорема аксиома определение примеры аксиом и теорем
Чем теорема отличается от аксиомы? И мне вопросик 
теорема вопросик аксиома
Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα — «зрелище, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). В отличие от теорем, аксиомами называются утверждения, которые в рамках конкретной теории принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований.
В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.
Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постула́т — исходное положение какой-либо теории, не доказываемое в рамках данной теории и лежащее в основе доказательства других ее положений.[1] В современной науке аксиомы — это те положения теории, которые принимаются за исходные, причём вопрос об истинности решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории.[1] Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами. С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии. Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» для построения теорий в любой науке, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта) или обосновываются в более глубокой теории. Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система) начиная с определённого уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, истинность и ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы).[2]
Прочитайте и сами сделайте вывод
Юлия Сергеевна, я точно не помню. Там чего-то без доказательств, а к чему-то доказательство нужно. Или там где-то что-то однозначно, а что-то под сомнение ставится.
Если коротко,то. Теорема-утверждение,для которого требуется доказательство.Оксиома-не требует доказательства.
Аксиома принимается без доказательств, а теорему устанешь доказывать
Аксиома, в отличие то теоремы, не требует доказательств
Источник
- Альфашкола
- Статьи
- Что такое аксиома, теорема или доказательство?
Что такое аксиома, теорема или доказательство?
Математика — это наука о количестве.
Любая вещь, которую можно умножить, разделить или измерить, называется количеством. Таким образом, линия — это количество, потому что она может быть удвоена, утроена или уменьшена вдвое и может быть измерена.
Вес-это количество, которое можно измерить в г, кг и тоннах.
Время — это вид количества, мера которого может быть выражена в часах, минутах и секундах.
Но цвет-это не количество. Нельзя сказать, что один цвет вдвое больше, или наполовину больше, чем другой. Деятельность разума, как мысль, выбор, желание, ненависть не являются количествами. Их нельзя измерить.
Наиболее важные части математики: арифметикой, алгеброй и геометрией.
Арифметика — это наука о числах. Его помощь требуется для завершения и применения расчетов, почти в каждом другом отделении математики.
Алгебра — это метод вычисления буквами и другими символами. Флюксия или дифференциальное и интегральное исчисление, могут рассматриваться как принадлежащие к высшим разделам алгебры.
Геометрия-это та часть математики, которая относится к величине. Под величиной понимается тот вид количества, которое расширяется; то есть, который имеет одно или несколько из трех измерений, длину, ширину и толщину. Поверхность-это величина, имеющая длину и ширину. Твердое тело-это величина, имеющая длину, ширину и толщину. Но движение, хотя и количество, не является, строго говоря, величиной. Она не имеет ни длины, ни ширины, ни толщины. Тригонометрия и конические сечения являются ветвями математики, в которых принципы геометрии применяются к треугольникам и сечениям конуса.
Математика либо чистая, либо смешанная. В чистой математике количества рассматриваются независимо от фактически существующих веществ. Но, в смешанной математике отношения величин исследованы, в связи с некоторыми свойствами материи или бизнесом. В геодезии математические принципы применяются к измерению земли, в оптике — к свойствам света и в астрономии — к движениям небесных тел.
Наука о чистой математике издавна отличалась ясностью и отчетливостью своих принципов и непреодолимой убежденностью, которую они несут в разуме каждого, кто когда-то познакомился с ними. Это должно быть объяснено, отчасти характером субъектов, а отчасти точностью определений, аксиом и доказательств.
Что такое определение?
Основа всех математических знаний должна быть заложена в определениях.
Определение
— это объяснение того, что подразумевается под любым словом или фразой. Равносторонний треугольник определяется как фигура, ограниченная тремя равными сторонами. Для полного определения важно, чтобы оно идеально отличало определенную вещь от любой другой. По многим темам трудно дать такую точность языку, чтобы он передавал каждому слушателю или читателю точно такие же идеи. Но, в математике, основные термины могут быть определены так, чтобы не оставить места для наименьшего различия сомнений, не теряя их значения , смысла. Под заголовком определения могут быть включены пояснения к символам, которые используются для обозначения отношений величин. Символ √ означает квадратный корень.
Что такое теорема, аксиома, доказательство?
Следующим шагом, после ознакомления со значением математических терминов, является их объединение в виде предложений. Некоторые соотношения величин не требуют процесса рассуждения, чтобы сделать их очевидными. Чтобы их понять, их нужно только предложить. Квадрат-это фигура, отличная от круга; что вся вещь больше, чем одна из ее частей или что две прямые линии не могут заключать пространство, предложения являются настолько истинными, что никакие рассуждения не могут сделать их более определенными. Поэтому их называют самоочевидными истинами или
аксиомами
. Однако существует сравнительно мало математических истин, которые являются самоочевидными. Большинство из них должны быть доказаны цепочкой рассуждений. Предложения такого рода называются
теоремами
, а процесс, посредством которого они оказываются истинными, называется
доказательством
. Это способ объяснения, при котором каждый вывод немедленно выводится либо из определений, либо из принципов, которые были ранее продемонстрированы.
Что такое лемма?
Помимо основных теорем в математике существуют также Леммы и следствия.
Лемма
— это предложение, которое демонстрируется с целью его использования в доказательстве некоторого другого предложения.
Следствием этого является вывод из предыдущего предложения. Непосредственным объектом исследования в математике часто является не демонстрация общей истины, а метод выполнения какой-либо операции, такой как сокращение дроби , извлечение корня Куба или вписывание круга в квадрат. Это называется решением проблемы.
Теорема
— это то, что нужно доказать.
Что такое постулат?
Когда то, что требуется сделать, настолько легко, насколько это очевидно каждому, без объяснения причин, это называется
постулатом
. Например прямая линия из одной точки в другую.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Репетитор по математике
Восточная экономико-юридическая гуманитарная академия
Репетитор по математике
ФГБОУ ВО Марийский государственный университет
Содержание материала
- Значение слова «аксиома» в словарях русского языка
- Аксиома это:
- Аксиома
- Аксиома
- Аксиома
- Аксиома
- Аксиома
- Аксиома
- Аксиома
- Аксиома
- Аксиома
- Видео
- Философский словарь (Конт-Спонвиль)
- Педагогический терминологический словарь
- История аксиомы
- Аксиомы Евклида
- Следствия из аксиомы
- Аксиома Архимеда
- Понятие теоремы
- Понятия свойств и признаков
Значение слова «аксиома» в словарях русского языка
Аксиома это:
Аксио́ма ( «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.
Википедия
Аксиома
ж. 1. Положение какой-либо научной теории, принимаемое без доказательств в силу непосредственной убедительности. 2. Неоспоримая, бесспорная, не требующая доказательств истина.
Большой современный толковый словарь русского языка
Аксиома
(гр. axioma) 1) отправное, исходное положение какой-л. теории, лежащее в основе доказательств других положений этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательства; 2) перен. бесспорная, не требующая доказательств истина.
Новый словарь иностранных слов
Аксиома
ж. 1) Исходное положение какой-л. научной теории, принимаемое без доказательств. 2) перен. Неоспоримое, бесспорное положение, очевидная истина, не требующая доказательств.
Новый толково-словообразовательный словарь русского языка Ефремовой
Аксиома
жен. , греч. очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств, напр. целое всегда, больше части своей; основная истина, самоистина, ясноистина.
Словарь Даля
Аксиома
[гр. axioma] 1. отправное, исходное положение какой-л. теории, лежащее в основе доказательств других положений этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательства; 2. * бесспорная, не требующая доказательств истина.
Словарь иностранных выражений
Аксиома
положение, принимаемое без доказательств Lib аксиома исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений Spec
Словарь русского языка Ожегова
Аксиома
(греч. axioma), положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории.
Современный толковый словарь, БСЭ
Аксиома
аксиома ж. 1) Исходное положение какой-л. научной теории, принимаемое без доказательств. 2) перен. Неоспоримое, бесспорное положение, очевидная истина, не требующая доказательств.
Толковый словарь Ефремовой
Аксиома
аксиомы, ж. (греч. axioma). Положение, принимаемое без доказательств (мат.). || Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книжн.).
Толковый словарь русского языка Ушакова
Видео
Философский словарь (Конт-Спонвиль)
аксиома
Аксиома
♦ Axiome
Недоказуемое положение, служащее для доказательства других положений. Являются ли аксиомы истинными? Долгое время считалось, что являются. По мнению Спинозы или Канта, аксиома – это истина, очевидность которой ясна без доказательств, а потому и не нуждается в них. Современные математики и логики склонны рассматривать аксиомы как чистые конвенции или гипотезы, которые не могут быть очевидными истинами. Отныне истина заключается не в самих положениях (если аксиома не есть истина, ни одна теорема не может быть истинной), а в объединяющих их отношениях импликации или дедукции. Следовательно, аксиом в традиционном понимании термина не существует, есть лишь постулаты (Постулат). Но и это заявление – постулат, а не аксиома.
Педагогический терминологический словарь
аксиома
(греч. axioma)
бесспорная истина, не требующая доказательств. В педагогике наиболее известны А. апперцепции и А. двойственности. А. апперцепции (см. Апперцепция) констатирует зависимость всех последующих восприятий от содержания и структуры предшествующего опыта. В этой А. отражено то фундаментальное положение, что одно и то же воздействие производит несходное впечатление на разных людей из-за заведомых различий в их индивидуальном опыте. А. апперцепции объясняет сложность, мучительность внутренней работы, содержанием которой становится переоценка ценностей.
А. двойственности позволяет рассматривать и интерпретировать личность как единство психического и физического, материального и идеального в их историческом развитии и внутренней противоречивости. Человеческая природа одновременно духовна и материальна. В человеческой психике обнаруживается наличие и взаимодействие обоих начал. А. орудийно-знакового опосредования процесса усвоения культуры в ходе воспитания фиксирует тот факт, что обучать и воспитывать можно только посредством знаковых систем и через предметы, созданные человеком для человека.
(Бим-Бад Б.М. Педагогический энциклопедический словарь. — М., 2002. С. 14)
История аксиомы
Аксиоматический метод появился в древней Греции. Термин аксиома встречается у древнегреческих философов Аристотеля (384–322 гг. до н. э.) и Евклида (325–265 гг. до н. э.).
Аксиомы Евклида
Самой известной аксиомой Евклида была аксиома о параллельных прямых. Он сформулировал её в своей книге «Начала».
Аксиома звучит так: через любую точку, которая расположена вне данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной.
Т. е. если дана прямая и любая точка (которая не лежит на этой прямой), то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
Следствия из аксиомы
У этой аксиомы два следствия:
- прямая, пересекающая одну параллельную прямую, обязательно пересечёт и другую;
- если две прямые параллельны третьей, то между собой они также параллельны.
Аксиома Архимеда
Для отрезков: если на прямой имеются два отрезка А (меньший из них) и B, то, складывая А достаточное количество раз, можно будет покрыть больший (B).
Другими словами, Архимед утверждал, что не существуют бесконечно малые и бесконечно большие величины. В качестве математической формулы аксиому можно записать так:
где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
- если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
- если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
- Синтетический или синтез — метод, при котором данное предложение выступает, как необходимое следствие другого, уже доказанного.
- Аналитический или анализ — обратный синтезу способ. Рассуждения всегда начинаются с доказываемой теоремы и закачиваются другой известной истиной.
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
- Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.
- Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
- Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
- прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
- обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
- Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
- Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
- Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
- Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Теги
Дать определение чему-либо значит объяснить, что это такое. Но объяснить необходимо понятными словами: при определении любого понятия используются другие понятия, которые должны быть уже известны. Однако нельзя дать определение всех понятий, поэтому некоторые понятия должны быть приняты без определения, их называют неопределяемыми. Это понятия точки и прямой, например.
Рассуждение, с помощью которого устанавливается правильность утверждения о свойстве геометрических фигур, называется доказательством.
Предложение, которое выражает свойство геометрической фигуры, истинность которого доказывается, называется теоремой.
Мы не можем доказать все свойства геометрических фигур, не приняв некоторые из них за основные. Основные свойства используются для доказательства других свойств.
Принимаемые без доказательства свойства фигур называются аксиомами.
К аксиомам планиметрии относятся основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости.
Через две точки можно провести только одну прямую.
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.
Используя уже имеющиеся определения и аксиомы, можно доказать первую теорему планиметрии (раздел геометрии изучает геометрические фигуры на плоскости).
Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.
Если бы две различные прямые имели две точки пересечения, то получилось бы, что через эти точки проходят две различные прямые. А это невозможно, так как согласно аксиоме, через две точки проходит только одна прямая.
Эта теорема доказывается методом доказательства от противного. Этот метод состоит в том, что сначала делается предположение, противоречащее тому, которое утверждается в теореме. Далее путём рассуждений, используя аксиомы, а иногда доказанные ранее теоремы, приходят к выводу, который противоречит либо условию теоремы, либо известной ранее теореме, либо одной из аксиом. Основываясь на этом делают заключение, что предположение было неверным, а значит верно утверждение теоремы.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Остались вопросы?
Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.
Основными
видами математических суждений являются:
аксиомы, постулаты, теоремы.
Аксиома
(от греческого то, что приемлема) —
предложение, принимаемое без доказательства
его истинность допускается. В аксиомах
высказываются утверждения о свойствах
основных неопределяемых понятиях
некоторые теории к системе аксиом
предлагаются требования независимости,
непротиворечивости, полноты.
Постулат
(от лат. требование) – это предложение
в котором выражаются некоторое требование
(условие) к которому должно удовлетворять
некоторое понятие или некоторого
отношения между понятиями.
Теорема
(от греч. рассматриваю, зрелище) –
математическое предположение, истинность
которого устанавливается по средствам
доказательства (рассуждения).
Доказательство
любой теоремы состоит из цепочки
умозаключения.
В
зависимости от общности посылок и
вывода выделяют следующие виды
умозаключений:
Дедуктивное
умозаключение или дедукция (от лат.
выведение)- умозаключение от общего к
частному, частичному или от более общего
к менее общему.
Индуктивное
умозаключение или индукция (от лат.
наведение)- от частного к общему или от
менее общего к более общему. Есть полная
и неполная идукция. Полная индукция
служит методом строгого логического
доказательства. Может быть использована
при доказательстве утверждений
относящиеся как к конечному так и
бесконечному множеству объекта. В
школьном курсе полная индукция
применяется при доказательстве о
величине вписанного угла, теорема
косинусов.
Традуктивное
или традукция (от лат. перемещение)-
умозаключение, в котором посылки и
вывод имеют одинаковую степень общности.
Методы
доказательств
Доказательство-
это цепь логических рассуждений,
связывающие условие и заключение
теоремы опирающихся на известные теории
(теоремы, определения, аксиомы) и
обосновывающих истинность заключения.
К доказательству теорем учащихся
необходимо готовить с первого по 6
классы, научить их наблюдательности,
подмечать закономерности и т.д.
Необходимо
научить учащихся приводить контрпримеры,
они являются доказательством.
Методы
доказательства теорем делятся на два
вида: прямое и косвенное доказательства.
Если
доказательство соединяет условие и
заключение теоремы, то его называют
прямым доказательством.
Если
оно связывает условие и заключение
другой теоремы (суждение), но в силу
логических законов обосновывает
истинность доказываемой теоремы, то
это косвенное доказательство.
Поскольку
анализ и синтез связывают причину
(условие теоремы, задачи) со следствием
(заключением теоремы , требованием
задачи) их рассматривают как метод
доказательства.
Синтетический
метод доказательства определяется
тем, что рассуждения ведутся от условия
к заключению теоремы это метод прямого
доказательства.
А
С
(А
Т) В1 В2 В3 … Вх С, где Т известные
математические предложения в рассмотрении
теории.
В1,В2,В3,…,Вх-
следствие из условия.
Вывод
об истинности С делается по закону
логики.
Синтетический
метод- метод строгого доказательства.
П-р:
Теорема: Если противоположные стороны
некоторого четырехугольника попарно
равны, то это параллелограмм.
Дано
АВ=СД,
ВС=АД (условие А)
Доказать:
АВСД- параллелограмм (заключение)
Доказательство:
1)
АВС= АСД (В1) 2) САД= ВСА
ВАС=
АСД (В2) 3) ВС//АД, АС//СД (В3) 4) АВСД-
параллелограмм (С)
В
учебнике все теоремы даются синтетическим
методом.
Синтетический
метод- является самым коротким методом
доказательства.
Аналитический
метод доказательства характеризуется
тем, что рассуждения ведутся от заключения
к условию теоремы.
Анализ
как метод доказательства встречается
в двух формах: восходящий анализ
(совершенный анализ), анализ Паппа и
нисходящий анализ (несовершенный
анализ) – анализ Евклида.
При
восходящем анализе для доказываемого
утверждения последовательно набирают
достаточное основание от следствия
восходят к причине, схема восходящего
анализа следующая:
Пусть
требуется доказать что из А С
Док-во:
В1 С (достаточное условие для С)
В2
В1
В3
В2
……
Вх
(А Т)
Т.О
рассуждение состоит в подборе достаточных
условий.
Восходящий
анализ является строгим методом
логического доказательства, истинность
С
(А Т)- этот метод прямого доказательства.
При
подготовке к доказательству теорем
можно использовать следующие 3 способа:
подача, формулировки теорем.
Учитель
проводит такую работу, после которой
ученики сами дают формулировку теоремы.
Учитель
предварительно разъясняет содержание
формулировки теоремы, теорему дает
сам.
Учитель
сразу дает формулировку теоремы, потом
проводит разъяснительную работу.
Учитель
обязан продумать чертеж к теореме 6
В
учебнике доказательство дается сплошным
текстом, учитель обязан продумать
лаконичную гладкую запись, подразделяя
доказательство на этапы рассуждения.
Обратить
на важность теоремы. Наиболее важными
теоремами в планиметрии являются
теоремы о сумме углов треугольника,
теорема Евклида.
Обратить
внимание учащихся на слова и термины,
появившиеся впервые в формулировках
теорем и на доске дать правильную запись
и символы которыми они обозначаются.
Иногда
полезно давать ошибочные формулировки,
чтобы проверить уровень усвоения
теоремы.
Для
учителя важно темп подачи материала,
тембр голоса, монотонность речи, языковые
погрешности, чрезмерная громкость.
Приемы закрепления доказательства
теоремы: закрепляется в 2 этапа: на уроке
и последствии. Следует разделять
усвоение доказательства и ее запоминание.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #