11. Числовые последовательности
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Числовые последовательности
Последовательность задана условиями (b_1=7), (b_{n+1}=-dfrac1{b_n}). Найдите (b_5).
Из данной в условии формулы следует, что [begin{aligned}
&b_2=-dfrac1{b_1}=-dfrac17 \[1ex]
&b_3=-dfrac1{b_2}=-dfrac1{-frac17}=7\[1ex]
&b_4=-dfrac1{b_3}=-dfrac17 \[1ex]
&b_5=-dfrac1{b_4}=7end{aligned}]
Ответ 7.
Ответ: 7
Последовательность задана условиями (b_1=-6), (b_{n+1}=-dfrac3{b_n}). Найдите (b_3).
Из данной в условии формулы следует, что [begin{aligned}
&b_2=-dfrac3{b_1}=-dfrac3{-6}=dfrac12 \[1ex]
&b_3=-dfrac3{b_2}=-dfrac3{frac12}=-6end{aligned}]
Ответ -6.
Ответ: -6
Последовательность задана формулой (c_n=-4n^2+7). Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
Укажите номер правильного ответа.
1) (-56)
2) (-58)
3) (-57)
4) (-55)
Способ 1.
Перепишем формулу как (4n^2=7-c_n). Из этой формулы видно, что левая часть делится на 4, следовательно, и правая часть должна делиться на 4. Отберем те числа (из данных четырех), которые подходят под условие ((7-c_n) vdots 4). Это единственное число (-57).
Проверим, действительно ли оно является членом последовательности:
(4n^2=7-(-57)=64), откуда (n^2=16), откуда (n=4) (так как (n) – натуральное число). Так как мы действительно получили натуральное (n), то (-57) является членом последовательности (причем четвертым).
Способ 2.
Данный способ – это та же самая проверка, как и во второй части решения первым способом, но для каждого из данных четырех чисел (без дополнительного отбора с помощью делимости). Этот способ менее предпочтителен тем, что является более долгим.
Ответ: 3
Последовательность задана формулой (c_n=-n^2+2). Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?
Укажите номер правильного ответа.
1) (1)
2) (3)
3) (4)
4) (0)
Перепишем формулу как (n^2=2-c_n). Из этой формулы видно, что левая часть является полным квадратом, следовательно, и правая должна быть полным квадратом. Отберем те числа (из данных четырех), которые подходят под это условие. Это единственное число (1).
Проверим, действительно ли оно является членом последовательности:
(n^2=2-1=1), откуда (n^2=1), откуда (n=1) (так как (n) – натуральное число). Так как мы действительно получили натуральное (n), то (1) является членом последовательности (причем первым).
Ответ: 1
Последовательность задана формулой (x_n=19cdot dfrac{(-1)^n}n). Какое из указанных чисел не является членом этой последовательности?
1) (-dfrac{19}{21}qquad ) 2) (dfrac{19}{20}qquad ) 3) (-9,5qquad ) 4) (-dfrac{19}9)
Укажите номер правильного ответа.
Подставим:
1) (-frac{19}{21}=19cdot frac{(-1)^n}n), откуда (-frac1{21}=frac{(-1)^n}n). Подбором убеждаемся, что подходит (n=21).
2) (frac{19}{20}=19cdot frac{(-1)^n}n), откуда (frac1{20}=frac{(-1)^n}n). Тогда (n=20).
3) (-9,5=19cdot frac{(-1)^n}n). Так как (9,5=frac{19}{2}), то (-frac{19}{2}=19cdot frac{(-1)^n}n), откуда (-frac1{2}=frac{(-1)^n}n). Единственное (n), которое могло бы подойти – это (n=2). Но тогда ((-1)^{2}=1), а не (-1). Следовательно, это и есть число, которое не является членом данной последовательности.
(Для проверки можно также подставить и последнее, четвертое число.)
Ответ: 3
Последовательность задана формулой (x_n=-23cdot dfrac{(-1)^n}n). Какое из указанных чисел не является членом этой последовательности?
1) (dfrac{23}{19}qquad ) 2) (-dfrac{23}{24}qquad ) 3) (dfrac{23}{25}qquad ) 4) (11,5)
Укажите номер правильного ответа.
Подставим:
1) (frac{23}{19}=-23cdot frac{(-1)^n}n), откуда (frac1{19}=-frac{(-1)^n}n). Подбором убеждаемся, что подходит (n=19).
2) (-frac{23}{24}=-23cdot frac{(-1)^n}n), откуда (frac1{24}=frac{(-1)^n}n). Тогда (n=24).
3) (frac{23}{25}=-23cdot frac{(-1)^n}n), откуда (frac1{25}=-frac{(-1)^n}n). Тогда (n=25).
4) (11,5=frac{23}{2}), следовательно, (frac{23}{2}=-23cdot
frac{(-1)^n}n), откуда (frac1{2}=-frac{(-1)^n}n). Единственное (n), которое могло бы подойти – это (n=2). Но тогда ((-1)^{2}=1), а не (-1). Следовательно, это и есть число, которое не является членом данной последовательности.
Ответ: 4
Последовательность задана формулой (a_n=2n+4cdot dfrac{(-1)^n}n). Какое из указанных чисел не является членом этой последовательности?
1) (-3qquad ) 2) (9,dfrac15qquad ) 3) (6qquad ) 4) (-2)
Укажите номер правильного ответа.
Способ 1.
Заметим, что при (ngeqslant 2) все (a_n) будут положительными, так как (2ngeqslant 4), а (frac 4nleqslant 2). При (n=1) получим (a_1=2-4=-2). Следовательно, во-первых, число (-2) является членом последовательности, а во-вторых, больше отрицательных членов последовательности быть не может, то есть число (-3) не является членом последовательности. Ответ 1.
(Чтобы проверкой убедиться в этом, нужно решить (-3=2n+(-1)^ncdot frac 4n), откуда (2n^2+3n+4(-1)^n=0). Дискриминант этого уравнения (D=9-32(-1)^n). Следовательно, либо (D<0), либо (D=41). В первом случае корней нет, во втором случае корни есть, но иррациональные. А нам нужны натуральные корни (n).)
Способ 2.
Данный способ – это та же самая проверка, как и во второй части решения первым способом. Этот способ менее предпочтителен тем, что является более долгим.
Ответ: 1
Вся теория по №18 за 3 часа. ЕГЭ 2023 по профильной математике
Вся теория по №18 за 3 часа. ЕГЭ 2023 по профильной математике
Прогрессии и последовательности: решаем ОГЭ по математике
04.06.2020
19510
Тема «прогрессии» на ОГЭ тесно связана с понятием «последовательность». Если ученики понимают, как числа в последовательности связаны друг с другом, они легко справляются с заданиями. Сейчас мы разберем прогрессии — одну из самых коварных тем ОГЭ по математике. Обратите внимание: в этом материале все самое главное для решения ОГЭ, никакой воды!
В этой статье:
Что такое последовательность?Какие виды последовательности бывают?Что такое арифметическая прогрессия?Как решать задачи ОГЭ на арифметическую прогрессию?Что такое геометрическая прогрессия?Как решать задачи ОГЭ на геометрическую прогрессию?В каком задании ОГЭ могут встретиться прогрессии?
Что такое последовательность?
В жизни мы очень часто сталкиваемся с математическими последовательностями и прогрессиями, буквально, каждый день, сами того не замечая. Однако встреча не всегда может быть приятной, особенно если она происходит на экзамене.
Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:
- для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
- это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
- для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.
Хочешь круто подготовится к ОГЭ? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!
Какие виды последовательности бывают?
Различают следующие виды последовательности:
- постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1..;
- возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего;
- убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего.
Что такое арифметическая прогрессия?
Давайте посмотрим на следующий ряд чисел:
Что же у них может быть общего? Во-первых, все они нечетные, во-вторых, каждое следующее число мы можем получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем это число d. В нашем случае d=2.
Описанная выше последовательность называется арифметической прогрессией. Получаем определение:
Приведем основные формулы:
Сумма первых n членов прогрессии можно вычислить по формуле:
Также арифметическая прогрессия обладает характерным свойством:
Как решать задачи ОГЭ на арифметическую прогрессию?
Теория — это прекрасно, но каждую теоретическую тему необходимо закреплять на практике. Сейчас мы разберем пару заданий ОГЭ по арифметической прогрессии.
Например, на ОГЭ может попасться вот такое задание:
Решение:
Ура! Первый прототип задания, который может встретиться на реальном экзамене, успешно выполнен. Идем дальше.
Решение:
Вот и все! Ничего сложного, учитывая то, что формула суммы первых n членов прогрессии есть в справочных материалах, которые выдаются на экзамене.
Что такое геометрическая прогрессия?
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии можно задать соотношением:
Вот основные формулы для геометрической прогрессии:
Также геометрическая прогрессия, как и арифметическая, обладает характерным свойством:
Как решать задачи ОГЭ на геометрическую прогрессию?
Закрепим материал на практике и разберем две задачи ОГЭ по геометрической прогрессии.
Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, … . Найти сумму первых 10 членов.
Решение:
Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, … . Найдите его номер.
Решение:
Как видите, со знанием формул любое задание становится несложным!
В каком задании ОГЭ могут встретиться прогрессии?
Тема «Прогрессия» встречается в задании ОГЭ под номером 12. Выполнение этого задания экзаменуемым зависит от уровня сложности самого задания. В среднем с ним справляется всего 47% школьников. Как видите, сама тема не очень сложная. Все можно решить — достаточно правильно и хорошо подготовиться.
Напомним, что в КИМах с инструкцией и заданиями есть вспомогательные формулы, которые помогут при решении нашей задачи на прогрессию.
Теперь вы знаете теорию по теме прогрессии на ОГЭ. Можете смело оттачивать знания на практике. Пусть ваша встреча с прогрессиями на экзамене будет не печальной, а победной!
Хотите разобраться в других темах ОГЭ? Боитесь, что экзамены уже в следующем году, а вы даже не открывали учебники? Начните готовиться к ОГЭ-2021 уже сейчас на курсах с MAXIMUM. Мы поможем закрыть пробелы и сдать все на отлично. Правильная и интересная подготовка — залог успеха на экзаменах. Консультация бесплатно!
Лайфхаки экзамена
К рубрике
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Числовые последовательности
Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Каждый элемент последовательности имеет свой порядковый номер.
a n = f ( n ) , n ∈ ℕ Примеры числовых последовательностей:
- Натуральные числа: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; …
- Квадраты натуральных чисел: 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; …
- Все целые числа от -3 до 3 : − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3.
Числа в последовательности могут быть любыми – положительными и отрицательными, целыми и дробными, рациональными и иррациональными.
Так почему же, спросите вы, в определении числовой последовательности есть фраза «функция, заданная на множестве натуральных чисел»? Потому что каждый член последовательности имеет свой порядковый номер (ну а нумеруем мы с единицы).
- Натуральные числа:
a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5, …
- Квадраты натуральных чисел:
a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9, a 4 = 16, a 5 = 25, …
- Все целые числа от -3 до 3 :
a 1 = − 3, a 2 = − 2, a 3 = − 1, a 4 = 0, a 5 = 1, a 6 = 2, a 7 = 3.
Последовательности могут быть бесконечными ( 1 и 2 ) и конечными ( 3 ) .
Числовые последовательности можно задавать несколькими способами:
- Словесный. Последовательность описывается словами.
Примеры:
- натуральные числа,
- квадратуры натуральных чисел,
- все целые числа от -3 до 3 .
- Аналитический. Последовательность задается формулой n-ного члена: a n = f ( n ) . По этой формуле можно найти любой член последовательности.
Примеры:
- a n = n – последовательность натуральных чисел,
- a n = n 2 – последовательность квадратов натуральных чисел,
- a n = n − 4, n ∈ [ 1 ; 7 ] – последовательность целых чисел от -3 до 3 .
- Рекуррентный. Последовательность задается формулой, по которой каждый следующий член последовательности находится через предыдущие. В этом случае всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.
Примеры:
- a 1 = 1, a n + 1 = a n + 1 – последовательность натуральных чисел.
Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.
a 1 = 1
n = 1, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 2 = a 1 + 1 = 1 + 1 = 2
n = 2, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 3 = a 2 + 1 = 2 + 1 = 3
n = 3, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 4 = a 3 + 1 = 3 + 1 = 4
n = 4, a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 5 = a 4 + 1 = 4 + 1 = 5
и так далее…
- a 1 = 1, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 – последовательность квадратов натуральных чисел.
Для нахождения каждого следующего члена последовательности требуется знать предыдущий.
a 1 = 1 ;
n = 1, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 2 = ( a 1 + 1 ) 2 = ( 1 + 1 ) 2 = 2 2 = 4
n = 2, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 3 = ( a 2 + 1 ) 2 = ( 4 + 1 ) 2 = 3 2 = 9
n = 3, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 4 = ( a 3 + 1 ) 2 = ( 9 + 1 ) 2 = 4 2 = 16
n = 4, a n + 1 = ( a n + 1 ) 2 ⇒ a 5 = ( a 4 + 1 ) 2 = ( 16 + 1 ) 2 = 5 2 = 25
и так далее…
- a 1 = − 3, a n + 1 = a n + 1, a n ≤ 3 – последовательность целых чисел от -3 до 3 .
a 1 = − 3 ; a n ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 2 = a 1 + 1 = − 3 + 1 = − 2 ; − 2 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 3 = a 2 + 1 = − 2 + 1 = − 1 ; − 1 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 4 = a 3 + 1 = − 1 + 1 = 0 ; 0 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 5 = a 4 + 1 = 0 + 1 = 1 ; 1 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 6 = a 5 + 1 = 1 + 1 = 2 ; 2 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 7 = a 6 + 1 = 2 + 1 = 3 ; 3 ≤ 3
a n + 1 = a n + 1 ⇒ a 8 = a 7 + 1 = 3 + 1 = 4 ; 4 ≤ 3
Последний член последовательности будет a 7 , так как a 8 не удовлетворяет условию a n ≤ 3
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией { a n } называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом.
Разностью d арифметической прогрессии называют число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу.
d = a n + 1 − a n
Числовая последовательность a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , … будет являться арифметической прогрессией, если:
a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d … a n = a n − 1 + d
Арифметическая прогрессия может быть
- возрастающей, если d > 0 ( 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; … )
- убывающей, если d < 0 ( 0 ; − 2 ; − 4 ; − 6 ; − 8 ; … )
- стабильной (постоянной), если d = 0 ( 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; … )
Примеры арифметической прогрессии:
- 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; … a 1 = 1, d = 2
- 10 ; 5 ; 0 ; − 5 ; − 10 ; − 15 ; … a 1 = 10, d = − 5
- 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; … a 1 = 4, d = 0
Формулы арифметической прогрессии
Определение:
(1) a n + 1 = a n + d
Разность:
(2) d = a n + 1 − a n
Формула n-го члена:
(3) a n = a 1 + ( n − 1 ) d
Сумма n первых членов:
(4) S n = a 1 + a n 2 ⋅ n
Свойства:
(5) a n = a n − 1 + a n + 1 2
(6) a n = a n − k + a n + k 2
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией { b n } называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же данной последовательности число.
Знаменателем q геометрической прогрессии называют число, на которое каждый раз умножают предыдущее число.
q = b n + 1 b n
В геометрической прогрессии есть ограничения: b 1 ≠ 0, q ≠ 0.
Числовая последовательность b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , … будет являться геометрической прогрессией, если: b 2 = b 1 ⋅ q b 3 = b 2 ⋅ q = b 1 ⋅ q 2 … b n = b n − 1 ⋅ q = b 1 ⋅ q n − 1
Геометрическая прогрессия может быть
- возрастающей, если абсолютная величина (без учета знака) знаменателя больше единицы, т.е. | q | > 1 ;
- убывающей, если абсолютная величина (без учета знака) знаменателя меньше единицы, т.е. | q | < 1 ;
- знакопеременной, если знаменатель меньше нуля, т.е. q < 0.
Примеры геометрической прогрессии:
- 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; … b 1 = 1, q = 3
- 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; … b 1 = 8, q = 1 2
- 1 ; − 2 ; 4 ; − 8 ; 16 ; … b 1 = 1, q = − 2
Формулы геометрической прогрессии
Определение:
(1) b n + 1 = b n ⋅ q
Знаменатель:
(2) q = b n + 1 b n
Формула n-го члена:
(3) b n = b 1 ⋅ q n − 1
Сумма n первых членов:
(4) S n = b 1 ⋅ ( q n − 1 ) q − 1
Свойства:
(5) b n = b n − 1 ⋅ b n + 1
(6) b n = b n − k ⋅ b n + k
Задание №12 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
Скачать домашнее задание к уроку 6.