Макеты страниц
Определим поток напряженности поля электрических зарядов 
через некоторую замкнутую поверхность, окружающую эти заряды (рис. 152). Причем будем считать поток отрицательным, если он направлен внутрь поверхности; в противном случае будем считать его положительным.
Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиусом 
окружающей один заряд 
находящийся в ее центре (рис. 153). Согласно формуле (6), напряженность поля на всей сфере одинакова и равна
Силовые линиицаправлены по радиусам, т.е. перпендикулярно поверхности сферы. Это дает возможность применить для расчета потока напряженности М формулу (7):
где 
площадь сферической поверхности.
Окружим теперь сферу произвольной замкнутой поверхностью. Как видно на рис. 153, каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и эту поверхность. Следовательно, формула (10) справедлива не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности.
Рис. 152
Рис. 153
Теперь вернемся к общему случаю произвольной поверхности, окружающей 
зарядов (см. рис. 152). Очевидно, что поток напряженности через эту поверхность равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов:
или окончательно
Таким образом,
поток напряженности, пронизывающий любую замкнутую поверхность, окружающую электрические заряды, пропорционален алгебраической сумме окруженных зарядов.
Это положение называется теоремой Остроградского — Гаусса.
Теорема Остроградского-Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помощью можно очень просто определять напряженность полей, создаваемых заряженными телами различной формы. Рассмотрим несколько примеров.
1. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити. Прежде всего выясним, каков вид поля этой нити. Мысленно разобьем заряженную нить на бесконечно большое число точечных зарядов рис. 154, а). Из некоторой точки А опустим на нить перпендикуляр 
Очевидно, что точечные заряды 
симметричные относительно 
создадут в А напряженность направленную перпендикулярно нити. Так как вся нить состоит из симметричных (относительно 
пар точечных зарядов, то результирующая напряженность поля в точке А будет направлена вдоль линии 
Иначе говоря, силовая линия, содержащая точку 
есть прямая, исходящая из нити и перпендикулярная ей.
Рис. 154
Рис. 155
Проведя аналогичные рассуждения относительно других точек пространства, окружающего нить, придем к выводу, что электрическое поле равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити изображается радиальными силовыми линиями, перпендикулярными нити (рис. 154, б). Такой же вид будет иметь и поле конечной нити; искажения появятся только в окрестностях ее концов.
Определим теперь величину напряженности пфля нити в некоторой точке А на расстоянии 
от нити (рис. 155). Пусть линейная плотность заряда нити (т. е. заряд, приходящийся на единицу длины) равен 
Окружим часть 
длины нити воображаемым цилиндром» ось которого совпадает с нитью, а боковая поверхность
содержит точку А. Согласно теореме Остроградского — Гаусса, поток напряженности через пбверхность этого цилиндра равен
где 
заряд части нити, окруженной цилиндром. С другой стороны, согласно формуле (7),
где 
площадь боковой поверхности цилиндра. Приравнивая друг к другу правые части соотношений (12) и (13), получим
Следовательно, напряженность поля нити обратно пропорциональна первой степени расстояния.
Рис. 156
С помощью формулы (14) можно рассчитывать напряженность поля заряженного провода, тонкого стержня и т. п.
2. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. Проводя рассуждения, подобные тем, которые имели место при выяснении вида поля нити, нетрудно убедиться, что силовые линии поля бесконечной заряженной плоскости перпендикулярны этой плоскости (рис. 156). Определим величину напряженности поля плоскости в некоторой точке А. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости (т. е. заряд, приходящийся на единицу площади) равна 
Построим воображаемый цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а правое основание содержит точку А. Плоскость делит цилиндр пополам.
Согласно теореме Остроградского — Гаусса, поток напряженности через поверхность этого цилиндра
где 
заряд части плоскости, окруженный цилиндром,
S — площадь основания цилиндра. Весь поток проходит только через основания цилиндра, так как силовые линии параллельны боковой поверхности цилиндра. На обоих основаниях напряженность поля 
одинакова, так как точки 
симметричны относительно плоскости. Тогда, согласно формуле (7),
где 
площадь оснований цилиндра. Приравнивая друг к другу правые части соотношений (15) и (16), получим
Таким образом, напряженность поля бесконечной заряженной плоскости пропорциональна поверхностной плотности заряда и не зависит от расстояния до плоскости. Следовательно, поле плоскости является однородным.
Рис. 157
3. Напряженность поля между двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями. Пусть поверхностные плотности заряда плоскостей равны 
и 
. На рис. 157 дан вертикальный разрез плоскостей; поле положительно заряженной плоскости изображена сплошными силовыми линиями, поле отрицательно заряженной плоскости — прерывистыми. Так как по величине поверхностные плотности заряда плоскостей одинаковы, то, согласно формуле (17), напряженности поля 
создаваемого каждой из плоскостей, одинаковы:
Как видно на рис. 157, поля между плоскостями складываются (силовые линии направлены в одну сторону). Поэтому напряженность поля между плоскостями 
или
Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (силовые линии направлены навстречу друг другу). Поэтому здесь напряженность поля 
Таким образом, поле между двумя бесконечными разноименно заряженными параллельными плоскостями однородно, а слева и справа от плоскостей оно отсутствует. Такой же вид имеет поле конечных параллельных плоскостей; искажение появляется только вблизи их границ.
С помощью формулы (18) можно рассчитывать напряженность поля внутри плоского конденсатора (см. § 82).
Использование теоремы Гаусса для расчета
полей эффективно в тех случаях, когда
поле обладает специальной симметрией
(чаще всего плоской, цилиндрической или
сферической). Симметрия и конфигурация
поля должны быть такими, чтобы, во-первых,
заряженное тело можно было бы окружить
достаточно простой замкнутой поверхностью
и, во-вторых, вычисление потока вектора
напряженности свести к простому умножению
Е (или En)
на площадь поверхностиSили часть ее. Если этого сделать нельзя,
то задачу необходимо решать другими
методами.
-
Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
Будем считать заряд положительным.
Плоскость заряжена с постоянной
поверхностной плотностью
.
Из симметрии вытекает, что напряженность
в любой точке поля имеет направление,
перпендикулярное к плоскости (рис. 2.10).
Очевидно, что в симметричных относительно
плоскости точках напряженность поля
одинакова по величине и противоположна
по направлению.
Выделим на заряженной плоскости площадку
.
Окружим эту площадку замкнутой
поверхностью. В качестве замкнутой
поверхности представим цилиндрическую
поверхность с образующими, перпендикулярными
к плоскости и основаниями величины
,
расположенными относительно плоскости
симметрично. Применим к этой поверхности
теорему Гаусса
.
Поток через боковую часть поверхности
будет отсутствовать, так как
в каждой ее точке равна нулю. Для оснований
совпадает с
.
Следовательно, суммарный поток через
поверхность будет равен
.
Внутри поверхности заключен заряд
.
Согласно теореме Гаусса, должно
выполняться условие:
,
откуда
. (3)
Полученный результат не зависит от
длины цилиндра, т.е. на любых расстояниях
от плоскости напряженность поля одинакова
по величине. Картина линий напряженности
выглядит, как показано на рис. 2.11. Для
отрицательно заряженной плоскости
направления векторов изменятся на
обратные. Если плоскость конечных
размеров, то полученный результат будет
справедлив лишь для точек, расстояние
которых от края пластины значительно
превышает расстояние от самой пластинки
(рис. 2.12).
|
Рис. 2.11
Рис. 2.12 |
|
-
Поле, образованное двумя разноименными заряженными плоскостями (бесконечно большими)
Поле двух параллельных бесконечно
больших плоскостей, заряженных разноименно
с одинаковой по величине постоянной
поверхностной плотностью
можно рассматривать как суперпозицию
полей, создаваемых каждой из плоскостей
в отдельности. В области между плоскостями
(рис.2.13) складываемые поля имеют одинаковое
направление, так что результирующая
напряженность равна
(4)
В
не
объема, ограниченного плоскостями,
складываемые поля имеют противоположные
направления, так что результирующая
напряженность равна нулюE=0.
Таким образом, поле сосредоточено между
плоскостями. Напряженность поля во всех
точках этой области одинакова по величине
и по направлению. Поле, обладающее такими
свойствами, называетсяоднородным.
Линии напряженности однородного поля
представляют собой совокупность
параллельных равноотстоящих прямых.
Полученный результат приблизительно
справедлив и в случае плоскостей конечных
размеров, если расстояние между
плоскостями значительно меньше их
линейных размеров (плоский конденсатор).
В этом случае заметные отклонения поля
от однородности напряженности наблюдаются
только вблизи краев пластин (рис. 2.14).
Пусть две бесконечные плоскости заряжены
разноименными зарядами с одинаковой
по величине плотностью σ .
Результирующее поле, как было сказано
выше, находится как суперпозиция полей,
создаваемых каждой из плоскостей. Тогда
внутри плоскостей
Вне плоскостейнапряженность поля
.
Распределение напряженности
электростатического поля между пластинами
конденсатора показано на рисунке .
Между пластинами конденсатора действует
сила взаимного притяжения (на единицу
площади пластин):
,
т.е.
.
Механические силы, действующие между
заряженными телами, называют
пондермоторными.
Тогда сила притяжения между пластинами
конденсатора:
где S– площадь обкладок
конденсатора. Т.к.
,
то
.
Это
формула для расчета пондермоторной
силы.
Соседние файлы в папке физ1
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Для полноценного описания электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме достаточно экспериментально подтвержденного закона Кулона и принципа суперпозиции. Но при этом существует возможность свойства электростатического поля охарактеризовать в ином обобщенном виде, не опираясь на утверждения касательно кулоновского поля точечного заряда.
Поток вектора напряженности
Зададим новую физическую величину, описывающую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Предположим, что в пространстве, содержащем заданное электрическое поле, имеется некая достаточно малая площадка ΔS.
Элементарный поток вектора напряженности (через площадку S) – это физическая величина, равная произведению модуля вектора E→, площади ΔS и косинуса угла α между вектором и нормалью к площадке:
ΔΦ=EΔScos α=EnΔS.
В данной формуле En является модулем нормальной составляющей поля E→.
Рисунок 1.3.1. Иллюстрация элементарного потока ΔΦ.
Теперь возьмем для рассмотрения некую произвольную замкнутую поверхность S. Разобьем заданную поверхность на площадки небольшого размера ΔSi, рассчитаем элементарные потоки ΔΦi поля через эти малые площадки, после чего найдем их сумму, что в итоге даст нам поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.2):
Φ=∑∆Φi=∑Em∆Si
Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.
Рисунок 1.3.2. Расчет потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S.
Теорема Гаусса. Доказательство
Теорема или закон Гаусса для электростатического поля в вакууме является одним из основных электродинамических законов.
Поток вектора напряженности электростатического поля E→ через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.
Уравнение Гаусса имеет вид:
Φ=1ε0∑qвнутр
Докажем указанную теорию: для этого исследуем сферическую поверхность (или поверхность шара) S. В центре заданной поверхности расположен точечный заряд q. Любая точка сферы обладает электрическим полем, перпендикулярным поверхности сферы и равным по модулю:
E=En=14πε0·qR2,
где R является радиусом сферы.
Поток Φ через поверхность шара запишется, как произведение E и площади сферы 4πR2. Тогда: Φ=1ε0q.
Следующим нашим шагом будет окружение точечного заряда произвольной поверхностью S замкнутого типа; зададим также вспомогательную сферу R0 (рис. 1.3.3).
Рисунок 1.3.3. Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд.
Возьмем для рассмотрения конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Рассматриваемый конус задаст на сфере малую площадку ΔS0, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ0 и ΔΦ через эти площадки являются одинаковыми. В самом деле:
ΔΦ0 = E0ΔS0, ΔΦ = EΔS cos α = EΔS’,
где выражением ΔS’=ΔS cos α определяется площадка, которая задастся конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса n.
Поскольку ∆S0∆S’=R02r2, то ∆Φ0=∆Φ. Из полученного следует вывод о том, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ0 через поверхность вспомогательной сферы:
Φ=Φ0=qε0.
Так же мы можем продемонстрировать, что, когда замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q, поток Φ равен нулю. Этот случай проиллюстрирован на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, т.е. в этой области не наблюдается обрыва или зарождения силовых линий.
Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов является следствием из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов возможно записать в виде векторной суммы электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S сложится из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов. Когда заряд qi расположен внутри поверхности S, он дает вклад в поток, равный qiε0. В случае расположения заряда снаружи поверхности его вклад в поток есть нуль.
Так, мы доказали теорему Гаусса.
Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют альтернативной формулировкой закона Кулона.
Опираясь на теорему Гаусса, в определенных случаях легко определить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела (при наличии заранее угаданных симметрии заданного распределения зарядов и общей структуры поля).
Применение теоремы Гаусса
В качестве примера можно рассмотреть задачу, в которой необходимо вычислить поле тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра с радиусом R. Такая задача имеет осевую симметрию, и из соображений симметрии электрическое поле должно иметь направление по радиусу. Таким образом, чтобы иметь возможность применить теорему Гаусса, оптимально выбрать поверхность замкнутого типа S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).
Рисунок 1.3.4. Иллюстрация поля однородно заряженного цилиндра. OO’ – ось симметрии.
Если r≥R, то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: 2πrl. Применим закон Гаусса и получим:
Φ=E2πrl=τlε0.
В указанном выражении τ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:
E=τ2πε0r.
Данное выражение не имеет зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.
Чтобы найти напряженность поля внутри заряженного цилиндра, необходимо создать замкнутую поверхность для случая r<R. В соответствии с симметрией задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра должен быть, и в этом случае он равен Φ=E2πrl. Исходя из гауссовской теоремы, этот поток находится в пропорции к заряду, расположенному внутри замкнутой поверхности. Заряд этот равен нулю, откуда вытекает, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра тоже есть нуль.
Точно так же теорема и формула Гаусса применимы для определения электрического поля в иных случаях, когда распределение зарядов охарактеризовано какой-либо симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости или оси. Во всех этих случаях необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность подходящей формы.
К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).
При отсутствии симметрии и невозможности угадать общую структуру поля, теорема Гаусса не сможет быть применена для упрощения решения задачи по определению напряженности поля.
Разберем еще пример распределения зарядов при наличии симметрии: нахождение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).
Рисунок 1.3.5. Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность.
Здесь гауссову поверхность S оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:
2E∆S=σ∆Sε0 или E=σ2ε0.
Здесь σ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.
Выражение, которое мы получили для электрического поля однородно заряженной плоскости, возможно использовать и для плоских заряженных площадок конечного размера: здесь расстояние от точки, в которой мы определяем напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значимо меньше размеров площадки.