39 количество движения точки импульс силы теорема об изменении количества движения точки

Количество
движения материальной точки
— вектор,
численно равный произведению массы
точки на скорость ее движения и совпадающий
с ней по направлению.

Векторная
производная по времени от количества
движения материальной точки геометрически
равна вектору силы, действующей на
точку.

Основное
уравнение динамики:
;.
Интегрируя получим :;.-импульс
силы.

Импульс
силы
— векторная величина, характеризующая
передачу материальной точке механического
движения за некоторый промежуток времени
со стороны других тел, действующих на
нее, равна произведению силы на время
ее действия и совпадает с ней по
направлению:;
В проекциях на оси:

34)Теорема об изменении количества движения точки(на всякий случай кинул и момента) и системы.

Теорема:
Изменение количества движения материальной
точки за некоторый промежуток времени
равно импульсу силы, действующей на
точку за этот промежуток времени.

Основное
уравнение динамики:
;.
Интегрируя получим :;.-импульс
силы.

(((((теорема
об изменении момента кол движ:

;
взяв производную по времени от обоих
частей уравнения получим:
,
итак:.

Теорема:
векторная производная по времени от
момента количества движения материальной
точки относительно полюса равна вектору
момента силы, действующей на точку
относительно того же центра.

Следствия:

1.
если линия действия силы проходит через
полюс. То момент количества движения
относительно этого полюса постоянный;

2.
если момент силы относительно оси равен
нулю, то момент количества движения
относительно этой оси постоянный.))))))

Количество
движения механической системы
— вектор,
равный геометрической сумме всех
количеств движения материальных точек
этой системы, численно равный произведению
массы системы на скорость центра масс
и совпадающий с ней по направлению.

Векторная
производная по времени от количества
движения механической системы
геометрически равна главному вектору
внешних сил, действующих на механическую
систему.

.
Так как:
,
то:;
интегрируя получим:;.

Теорема:
Изменение количества движения механической
системы за некоторый промежуток времени
равно геометрической сумме импульсов
внешних сил, действующих на систему за
этот промежуток времени.

Следствия:

1.
внутренние силы не влияют на изменение
количества движения;

2.
Закон сохранения количества движения
механической системы
: если главные
векторы всех внешних сил, действующих
на точки системы, равны нулю, то вектор
количества движения механической
системы остается постоянным.

3.
Закон сохранения проекции вектора
количества движения механической
системы
: если проекции векторов всех
внешних сил, действующих на точки
системы, на ось равны нулю, то проекция
вектора количества движения механической
системы на эту ось остается постоянной.

35)Работа силы и момента силы. Мощность

Работа
силы

количественная мера превращения
механического движения в другие виды
движения.

Если
сила постоянна по модулю и направлению,
а точка ее приложения перемещается
прямолинейно, то работа равна произведению
модуля силы, длинны перемещения и
косинуса угла между этими векторами:
.Знакработы
совпадает со знаком проекции силы на
ось перемещения..
Интегрируя для точки М получим:

Мощность
работа, выполненная за единицу времени.

Теорема
о работе равнодействующей силы
:
работа равнодействующей на некотором
перемещении равна алгебраической сумме
работ, составляющих ее сил на этом же
перемещении.

Работа
сил тяжести, упругости.
Работа
силы тяжести
численно
равна произведению силы тяжести на
вертикальное перемещение точки ее
приложения, не зависит от траектории
перемещения, а только от расстояние
между вертикальными проекциями начального
и конечного положения точки:

Работа
силы упругости
численно
равна произведению половины коэффициента
жесткости на квадрат перемещения точки
приложения силы, поскольку модуль силы
упругости равен произведению коэффициента
жесткости на удлинение:

.

Работа
сил, приложенных к твердому телу.
Работа
внутренних сил на конечном перемещении
равна нулю.

Работа
силы, действующей на поступательно
движущееся тело равна произведению
этой силы на приращение линейного
перемещения.

Работа
силы, действующей на вращающееся тело
равна произведению момента этой силы
относительно оси вращения на приращение
угла поворота:
;.
Мощность:.

Работа
момента силы
— это мера воздействия
момента силы на тело на данном пути (во
вращательном движении). Она равна
произведению модуля момента силы и угла
поворота.

Понятие
работы представляет собой меру внешних
воздействий, приложенных к телу на
определенном пути, вызывающих изменения
механического состояния тела.

Содержание:

Количество движения точки и системы:

Одной из мер движения точки или системы является количество их движения.

Количеством движения материальной точки Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.

Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Размерность количества движений в СИ — Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике или Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Количеством движения системы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике называют векторную сумму количеств движений отдельных точек систем, т. е.

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

и, следовательно, проекции количества движения системы на прямоугольные декартовы оси координат

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Вектор количества движения системы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике в отличие от вектора количества движения точки Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике не имеет точки приложения. Вектор количества движения точки считается приложенным в самой движущейся материальной точке, а вектор Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике является свободным вектором.

Вычисление количества движения системы

Количество движения системы можно выразить через массу системы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и скорость центра масс Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

В проекциях на прямоугольные декартовы оси соответственно

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — координаты центра масс системы. Выведем формулу (6):

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — радиус-вектор Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике-й точки системы (рис. 40).

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Рис. 40

По формуле для радиуса-вектора центра масс,

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Подставляя значение статического момента массы (8) в (7), имеем

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

так как масса системы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике не изменяется при движении системы. 

Элементарный и полный импульсы силы

Действие силы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике на материальную точку в течение времени Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике можно охарактеризовать так называемым элементарным импульсом силы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.  Полный импульс силы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике за время Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, или импульс силы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, определяют по формуле

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Проекции импульса силы на прямоугольные оси координат выражаются формулами

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Единица импульса силы — Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Теорема об изменении количества движения точки

Дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике можно представить в следующей векторной форме:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Так как масса точки Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике принята постоянной, то ее можно внести под знак производной. Тогда

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Формула (10) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.

В проекциях на координатные оси (10) можно представить в виде

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Рис. 41

Если обе части (10) умножить на Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, то получим другую форму этой же теоремы — теорему импульсов в дифференциальной форме:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

т. е. дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей  на точку.

Проецируя обе части (11) на координатные оси, получаем

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Интегрируя обе части (11) в пределах от нуля до Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике (рис. 41), имеем

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — скорость точки в момент Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике; Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — скорость при Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механикеТеоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике—импульс силы за время Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Выражение в форме (12) часто называют теоремой импульсов в конечной (или интегральной) форме: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за тот же промежуток времени. В проекциях на координатные оси эту теорему можно представить в следующем виде:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Для материальной точки теорема об изменении количества движения в любой из форм, по существу, не отличается от дифференциальных уравнений движения точки.

Теорема об изменении количества движения системы

Аналогично тому, как для одной материальной точки, выведем теорему об изменении количества движения для системы в различных формах. Пусть к точкам системы приложены внешняя и внутренняя силы. Тогда для каждой точки можно применить теорему об изменении количества движения, например в форме (10) (см. рис. 40):

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Суммируя по всем точкам системы правые и левые части этих соотношений и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получаем

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Так как, по свойству внутренних сил и определению количества движения системы,

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

то приведенное соотношение можно представить в виде

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Выражение (13) является теоремой об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему. В проекциях на прямоугольные декартовы оси координат

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

т. е. производная по времени от проекции количества движения системы на какую-либо координатную ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось.

Умножая обе части (13) на Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, получаем теорему импульсов для системы в дифференциальной форме:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

т. е. дифференциал количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему. В проекциях на координатные оси эта теорема примет вид

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Вычисляя интегралы от обеих частей (14) по времени- от нуля до получаем теорему импульсов для системы в конечной или интегральной форме:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — количество движения системы в момент Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механикеТеоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — количество движения в момент Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике; Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике— импульс внешней силы, действующей на Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике-ю точку за время Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике; Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Теорема импульсов для системы в конечной форме формулируется так: изменение количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за то же время. В проекциях на прямоугольные оси согласно (15) имеем:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Внутренние силы системы не входят явно в теорему об изменении количества движения системы в любой из форм и, следовательно, не влияют непосредственно на изменение количества движения системы. Они могут влиять на изменение количества движения только неявно через внешние силы.

Из теоремы об изменении количества движения для точки и системы при некоторых условиях для внешних сил можно получить так называемые первые интегралы системы дифференциальных уравнений точки и системы. Эти первые интегралы называют законами сохранения количества движения или проекции количества движения на ось. Рассмотрим эти законы сохранения для точки и системы одновременно, считая материальную точку механической системой, состоящей из одной точки.

Законы сохранения количества движения

Законы сохранения количества движения системы получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы в зависимости от особенностей системы внешних сил, приложенных к рассматриваемой механической системе, а для одной точки — от особенностей сил, действующих на точку. Внутренние силы при этом могут быть любыми, так как они явно не влияют на изменение количества движения системы.

Возможны два частных случая.

1.    Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю, т. е. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, то из теоремы об изменении количества движения системы, например в форме (13), следует, что

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Этот закон (точнее, частный случай теоремы) формулируется так: если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению. В проекциях на координатные оси, по этому закону,

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — постоянные величины.

В соотношения (16) и (16′) входят производные от координат точек по времени не выше первого порядка и не входят вторые производные от этих координат. Следовательно, эти соотношения являются первыми интегралами дифференциальных уравнений системы (3).

2.    Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил на какую-либо координатную ось Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, т. е. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, то из (13′) имеем

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Выражение (17) является законом сохранения проекции количества движения системы: если проекция главного вектора всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на ту же ось является постоянной величиной.

Применим закон сохранения количества движения системы для объяснения принципа реактивного движения. Пусть, например, система состоит из двух сочлененных твердых тел, находящихся в покое и свободных от действия внешних сил. Тогда для рассматриваемой системы количество движения все время постоянно и равно нулю. Допустим, что при взрыве пиропатрона (действие внутренних сил) первому телу массой Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике сообщена скорость Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Тогда скорость второго тела массой Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике определится из закона сохранения количества движения

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Следовательно,

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

т. е. второе тело движется в сторону, противоположную первому телу. Если его движению препятствует какая-либо связь, то рассматриваемое тело давит на эту связь с некоторой силой по направлению скорости Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Эту силу называют реактивной. В реактивных двигателях она создается за счет истечения газа с большой скоростью (около Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике) из сопла двигателя.

Теорему об изменении количества движения в той или другой форме удобно применять для решения задач именно в рассмотренных частных случаях, хотя в некоторых случаях ее применяют и в общем случае. Отметим, что внутренние силы не влияют на изменение количества движения в изолированных системах, т. е. в системах, которые не соприкасаются с другими телами, не принадлежащими к рассматриваемой системе, или окружающей систему материальной средой.

В неизолированных механических системах внутренние силы, вызывая движение отдельных частей системы вследствие взаимодействия с внешними телами или окружающей материальной средой, могут вызвать внешние силы в виде сил реакций связей или изменения активных сил, которые могут изменить количество движения системы.

Количество движения системы может зависеть от внутренних сил только неявно, через внешние силы.

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Рис. 42

Пример №1

Через изогнутую под прямым углом трубу постоянного сечения за 1 с протекает жидкость массой Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике (рис. 42). Скорость течения жидкости Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике постоянна, т. е. одна и та же у всех частиц жидкости. Определить силу, с которой жидкость давит на участок трубы вследствие поворота потока на прямой угол.

Решение:

Применим к объему жидкости, заключенному между стенками трубы и поперечными сечениями 1 и 2, теорему об изменении количества движения в форме теоремы импульсов за промежуток времени, равный 1 с. За секунду точки жидкости из сечения 1 сместятся на расстояние Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и займут положение 1′, а точки жидкости из сечения 2 займут положение 2′. По теореме импульсов для выделенного объема жидкости имеем

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — количество движения жидкости, заключенной между сечениями 1 и 2; Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — количество движения жидкости, заключенной между сечениями 1′ и 2′; Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике—главный вектор распределенных сил, с которыми стенки трубы действуют на выделенный объем жидкости.

Так как в общей части объема жидкости количества движения, входящие в Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, взаимно уничтожаются при их вычитании, то из (а) получаем

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Сила давления жидкости Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике на стенки трубы по закону о равенстве действия и противодействия выразится в виде

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Проецируя (б) на оси координат, получаем

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

так как Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. После этого

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Направление силы давления жидкости Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике указано на рисунке.

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Рис. 43

Если бы через сечение 1 жидкость не поступала, а образовывалась внутри трубы, как в реактивном двигателе образуются газы после сгорания топлива, а через сечение 2 она выходила (рис. 43), то сила Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, согласно (б), имела бы значение Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Эта сила Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике является частью реактивной силы двигателя вследствие выброса продуктов сгорания из двигателя, являющегося источником газа. Другая часть реактивной силы двигателя, равная Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, получается за счет разности давлений Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, в струе выходящего из сопла газа и давления в среде Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, куда выходит из двигателя газ. Здесь Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — площадь выходного сечения сопла.

Полная реактивная сила двигателя

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

По направлению реактивная сила Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике всегда противоположна скорости v выходящего из двигателя газа. Для получения большой скорости выходящего газа сопло двигателя следует расширять по направлению к выходному его сечению при сверхзвуковых скоростях истечения газа.

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Теорема о движении центра масс системы

Следствием теоремы об изменении количества движения системы является теорема о движении центра масс системы. По теореме об изменении количества движения системы (13),

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Но количество движения системы можно вычислить по формуле (6):

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — скорость центра масс; Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике— масса системы.

Подставляя (6) в (13) и учитывая, что масса системы постоянна, получаем теорему о движении центра масс в векторной форме:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

или

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — ускорение центра масс.  

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Рис. 44

Теорема о движении центра масс формулируется так: центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассматриваемой механической системе.

Проецируя (18) на прямоугольные декартовы оси координат (рис. 44), получаем дифференциальные уравнения движения центра масс:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — координаты центра масс.

Из теоремы о движении центра масс можно получить следствия, аналогичные законам сохранения количества движения и проекции количества движения на ось.

1.    Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, т. е. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, то из (18) следует, что ускорение центра масс Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике равно нулю, а следовательно, скорость центра масс Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике является постоянной по модулю и направлению, т. е. центр масс движется прямолинейно и равномерно по инерции или находится в покое. Если, в частности, в начальный момент он находится в покое, то он покоится в течение всего времени, пока главный вектор внешних сил равен нулю.

2.    Если проекция, например на ось Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, главного вектора внешних сил, действующих на систему, равна нулю, т. е.

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

то из (18′) следует, что проекция ускорения Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике центра масс на эту ось равна нулю, а следовательно, проекция скорости центра масс является постоянной величиной, т. е. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Рис. 45

Если дополнительно в начальный момент Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, то тогда Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, т. е. координата Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике центра масс не изменяется при движетении системы.

Внутренние силы не влияют явно на движение центра масс. Они могут влиять только неявно, через внешние силы. Следовательно, одними внутренними силами, без внешних, нельзя вывести из равновесия или изменить движение центра масс системы. Но внутренними силами для неизолированной механической системы можно создать движение отдельных частей системы и, следовательно, взаимодействие с внешними телами, вызывая этим внешние силы реакций связей или изменяя активные силы. Это может изменить движение центра масс или вывести его из равновесия.

Пусть человек стоит на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости вблизи скрепленного с этой плоскостью тела. Так как на человека не действуют внешние силы в горизонтальном направлении, то внутренними силами он не может вывести из равновесия в этом направлении свой центр масс. Но человек может оттолкнуться рукой от препятствия, т. е. внутренними силами вызвать внешнюю силу реакций препятствия и таким образом вызвать движение своего центра масс в горизонтальном направлении. Все, что движется по Земле, летает в воздухе, плавает по воде, совершает это с помощью внутренних сил, создавая внешние силы трения на твердых поверхностях внешних тел, отталкиваясь от воздуха или воды.

Пример №2

Два груза с силами тяжести Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, скользят по боковым граням равнобедренного клина (рис. 45). Клин стороной Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике опирается на гладкую горизонтальную плоскость. В начальный момент система находится в покое.

Найти перемещение клина по плоскости при опускании груза Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике на высоту Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Сила тяжести клина Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Массой блока и нити пренебречь.

Решение:

Внешними силами, действующими на клин вместе с грузами, являются силы тяжести Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и нормальная реакция горизонтальной гладкой поверхности Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Следовательно,

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Учитывая, что в начальный момент система находится в покое, на основании второго следствия из теоремы о движении центра масс имеем Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Вычислим Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике при Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике в момент, когда груз опустится на высоту Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Для момента Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — соответственно координаты центра масс по оси Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике грузов Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и клина.

Пусть вся система вместе с клином переместилась в положительном направлении оси Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике на величину Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике при опускании груза Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике на Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Тогда

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

так как грузы вместе с клином передвинутся на Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике вправо и по клину вдоль отрицательного направления оси Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике на Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике при заданном угле клина, равном Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Так как Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, то после вычитания получим

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Отсюда

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Так как величина Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике оказалась положительной, то клин действительно перемещается вправо в положительном направлении оси Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Рис. 46

Пример №3

В электромоторе корпус (статор) имеет силу тяжести Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, а ротор Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Ротор вращается по часовой стрелке с частотой Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике (рис.46). Центр масс ротора вследствие его несимметричности отстоит от оси вращения на расстоянии Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Определить горизонтальную силу, с которой действует мотор на болты, крепящие его к фундаменту, и вертикальное давление на пол.

Решение:

Предположим, что при Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике центр масс ротора находится на оси Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Тогда в момент времени Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике координаты центра масс ротора можно выразить как

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Для определения давления мотора на болты и пол рассмотрим в качестве механической системы весь мотор, для которого внешней силой в горизонтальном направлении является только сила действия болтов Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, а в вертикальном направлении — силы тяжести и нормальная реакция пола Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Для координат центра масс всего мотора

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — массы корпуса мотора и ротора соответственно; Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механикеТеоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике — координаты их центров масс.

Центр масс корпуса закрепленного мотора является неподвижной точкой и находится в начале координат. Следовательно, Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике,Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, и поэтому координаты центра масс всего мотора

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Используя дифференциальные уравнения движения центра масс всего мотора в проекциях на координатные оси, получим

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике—сила действия болтов на корпус мотора в горизонтальном направлении по оси Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике; Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике—нормальная сила реакции пола. Так как

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

то из (а) следует

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Сила действия мотора на болты Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике и давление Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике на пол равны

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Наибольшие числовые значения этих сил

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Если болтов нет, то корпус мотора может подпрыгивать в направлении оси Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике. Динамическое условие подпрыгивания в рассматриваемом случае выразится как Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, кинематическое условие подпрыгивания мотора есть Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике.

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

Из теоремы о движении центра масс системы получаются дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Имеем

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Но при поступательном движении твердого тела ускорения всех точек тела одинаковы по модулю и направлению, т. е. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике, где Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике—ускорение произвольной точки тела. Учитывая это, из теоремы о движении центра масс получаем следующее дифференциальное уравнение поступательного движения тела в векторной форме:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Проецируя на оси координат, имеем:

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Это и есть дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела в проекциях на прямоугольные оси координат. В этих уравнениях х, у, z являются координатами произвольной точки тела, в частности могут быть координатами его центра масс. Тело, совершающее поступательное движение, имеет три степени свободы, и поэтому можно составить три дифференциальных уравнения его движения.

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела аналогичны дифференциальным уравнениям движения одной материальной точки. С помощью этих уравнений можно решать такие же задачи, как и для одной точки.

  • Теорема об изменении кинетического момента
  • Теорема об изменении кинетической энергии
  • Потенциальное силовое поле
  • Закон сохранения механической энергии
  • Относительное движение материальной точки
  • Геометрия масс
  • Свойства внутренних сил системы 
  • Дифференциальное уравнение движения системы

Теорема об изменении количества движенияКоличество движения

 Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости.

 Единицей измерения количества движения является (кг м/с).

 Количество движения механической системы – векторная величина, равная геометрической сумме (главному вектору) количества движения механической системы равняется произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

 Когда тело (или система) движется так, что ее центр масс неподвижен, то количество движения тела равняется нулю   (например, вращение тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела).

 В случае сложного движения, количество движения системы  не будет характеризовать вращательную часть движения при вращении вокруг центра масс. Т.е., количество движения   характеризует только поступательное движение системы (вместе с центром масс).

Импульс силы

 Импульс силы характеризует действие силы за некоторый промежуток времени.

 Импульс силы за конечный промежуток времени определяется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов. 

 Теорема об изменении количества движения материальной точки

(в дифференциальной форме):

 Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме действующих на точки сил.

 (в интегральной форме):

 Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за этот промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения механической системы

(в дифференциальной форме):

 Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

 (в интегральной форме):

 Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за этот промежуток времени.

 Теорема позволяет исключить из рассмотрения заведомо неизвестные внутренние силы.

 Теорема об изменении количества движения механической системы и теорема о движении центра масс являются двумя разными формами одной теоремы.

Закон сохранения количества движения системы

  1. Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным по направлению и по модулю.    
  2. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на любую произвольную ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось является величиной постоянной.

      Выводы:

  1. Законы сохранения свидетельствуют, что внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы.
  2. Теорема об изменении количества движения механической системы не характеризует вращательное движение механической системы, а только поступательное.

Приведен пример: Определить количество движения диска определенной массы, если известна его угловая скорость и размер.
 

Пример решения задачи на применение теоремы теоремы об изменении количества движения для определения скорости материальной точки

Лекция 3

Краткое содержание:  Общие теоремы динамики точки. Количество движения точки.  Элементарный и полный импульс силы.  Теорема об изменении количества движения точки.  Момент количества движения точки.  Теорема об изменении момента количества движения точки.  Работа силы.  Мощность.  Кинетическая энергия точки.  Теорема об изменении кинетической энергии точки.  Принцип Даламбера для материальной точки

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Для решения многих задач динамики  вместо непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений движения оказывается более эффективным пользоваться так называемыми общими теоремами, которые являются следствием основного закона динамики.

Количество движения точки

Количеством движения материальной точки  называется вектор, равный произведению массы точки    на ее скорость .                     

Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.

Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат равны:

,    ,  

Рекомендуемые материалы

Единицей измерения количества движения в СИ является –  

Элементарный и полный импульс силы.

Действие силы  на материальную точку в течении времени    можно охарактеризовать элементарным импульсом силы    .

Полный импульс силы     за время  , или  импульс силы   , определяется по формуле  .  (Полный интеграл за время  от элементарного импульса).

В частном случае, если сила    постоянна и по величине , и по направлению (),   .

Проекции импульса силы на прямоугольные декартовы оси координат равны:

                     

Единицей измерения импульса в СИ является –  

Теорема об изменении количества движения точки.

Теорема.  Производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.

Запишем основной закон динамики в виде  .  Так как масса постоянна, то внесем ее под знак производной.

Тогда                         ,                                                                   (*)

что и требовалось доказать.

В проекциях на координатные оси уравнение (*) можно представить в виде:

                               

Теорема импульсов (в дифференциальной форме).  Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Умножим левую и правую части уравнения (*) на  и получим

                                               (**)

В проекциях на координатные оси получаем:

,

,

.

Теорема импульсов (в интегральной форме).  Изменение  количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за этот же промежуток времени.

Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до    получаем:

В проекциях на координатные оси получаем:

,

,

Момент количества движения точки.

В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты определяются также как и моменты силы.

Моментом количеством движения материальной точки относительно некоторого центра О  называется вектор, определяемый равенством  

Момент количества движения точки называют также кинетическим моментом.

Момент количества движения относительно какой-либо оси  , проходящий через центр О,  равен проекции вектора количества движения  на эту ось   .

Если количество движения  задано своими проекциями     на оси координат  и даны координаты    точки  в пространстве, то момент количества движения   относительно начала координат вычисляется следующим образом:

Проекции момента количества движения на оси координат равны:

Единицей измерения количества движения в СИ является – .

Теорема об изменении момента количества движения точки.

Теорема.  Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Доказательство:  Продифференцируем момент количества движения по времени  

,   , следовательно  ,                        (*)

что и требовалось доказать.

Теорема.  Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси.

Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (*) на эту ось. Для оси  это будет выглядеть так:                      

Следствия из теорем:

1. Если момент силы относительно точки равен нулю, то момент количества движения относительно этой точки величина постоянная.

,         

2. Если момент силы относительно оси равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси величина постоянная.

,         

Работа силы.  Мощность.

Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении.

Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.

.     ,

Единицей измерения работы в СИ является –  

При               при  

Частные случаи:      

Элементарное перемещение равно дифференциалу радиуса вектора точки приложения силы.

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение или на дифференциал радиуса вектора точки приложения силы.

Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.

Если сила   задана своими проекциями () на оси координат и элементарное перемещение задано своими проекциями () на оси координат, то элементарная работа силы равна:

 (аналитическое выражение элементарной работы).

Работа силы на любом конечном перемещении    равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.

Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы.

,                  

Мощность равна скалярному произведению силы на скорость.

Единицей измерения мощности в СИ является –  

В технике за единицу силы принимается  .

Пример 1.   Работа силы тяжести.

            Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Р, перемещается из положения     в положение  . Выберем оси координат так, чтобы ось   была направлена вертикально вверх. 

Тогда, ,   ,       и

Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус  произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

Пример 2.   Работа силы упругости.

            Рассмотрим материальную точку закрепленную на упругом элементе жесткости с, которая совершает колебания вдоль оси х.  Сила упругости  (или восстанавливающая сила) . Пусть точка М, на которую действует только сила упругости, перемещается из положения     в положение  .  ().

Работа силы упругости равна половине произведения жесткости упругого элемента на  разность квадратов начального и конечного удлинения (или сжатия) упругого элемента.

Работа силы упругости равна площади фигуры (трапеции) расположенной под кривой

Пример 3.   Работа и мощность пары сил.

Пусть пара сил приложена к вращающемуся вокруг неподвижной оси телу.  Элементарная работа пары сил равна  .   Полная работа пары сил равна 

— угол поворота тела,  —  момент пары сил.

Мощность пары сил равна

           

Кинетическая энергия точки

Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Теорема.  Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Доказательство: Основной закон динамики   .

Умножим левую  и правую части уравнения скалярно на   справа, получаем   .              — элементарная работа.

 — дифференциал от кинетической энергии.  

,                    что и требовалось доказать.

Теорема.  Производная по времени от кинетической энергии точки равна  мощности, подводимой к этой точке.

Теорема.  Изменение  кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении.

Принцип Даламбера для материальной точки

Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и сил реакции связей имеет вид:

Информация в лекции «18 Нечеткие множества» поможет Вам.

,

 — равнодействующая активных сил,  — равнодействующая сил реакции связей.

Силой инерции материальной точки называют произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е. .

Если использовать понятие силы инерции, то основной закон динамики принимает вид:           

Принцип Даламбера.  При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.

Принцип Даламбера называют еще методом кинетостатики. Задачи динамики с помощью этого метода сводятся к задачам статики.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *